Способ сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Способ сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Рассмотрим ещё один алгебраический способ решения системы линейных уравнений с двумя переменными. Это способ сложения.

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения, необходимо:

• умножить (разделить) одно из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных (х или у) были противоположными;

• сложить почленно два уравнения (как подобные слагаемые) и записать получившееся уравнение на первом месте;

• на втором месте записать любое (самое простое) из всех уравнений, которые были выше;

• решить уравнение с одной переменной;

• подставить значение найденной переменной в другое уравнение;

• найти значение другой переменной.

Первый пункт немного уточним. Часто бывает, что неудобно найти число, на которое нужно умножить одно из уравнений, чтобы коэффициенты стали противоположными. В этом случае одновременно умножают два уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты стали противоположными. На примерах мы рассмотрим такие случаи.

Например, решить систему уравнений способом сложения:

1) .

При решении такой системы возможны два варианта.

1. Умножим первое уравнение на второе уравнение остаётся прежним:

Сложим почленно два уравнения. Получившееся уравнение записываем на первом месте, на втором – самое простое из вышезаписанных (учитывая, что во втором уравнении потом будем находить значение у):

Находим значение х из первого уравнения и сразу подставляем во второе уравнение:

Находим значение у из второго уравнения:

Ответ:

1. Умножим второе уравнение на первое уравнение остаётся прежним:

Сложим почленно два уравнения. Получившееся уравнение записываем на первом месте, на втором – самое простое из вышезаписанных (учитывая, что во втором уравнении потом будем находить значение x):

Находим значение y из первого уравнения и сразу подставляем во второе уравнение:

Находим значение x из второго уравнения:

Ответ:

2) .

Здесь также возможны два варианта:

1. Умножим одновременно первое уравнение на , а второе – на (обращайте внимание на коэффициенты при одинаковых переменных!):

Складываем почленно два уравнения (опять-таки, не забываем, что складываем коэффициенты при одинаковых переменных!):

Находим из первого уравнения и подставляем во второе:

Находим из второго уравнения:

В ответе записываем значения в скобках в соответствии с алфавитом.

Ответ:

Умножим одновременно первое уравнение на , а второе – на (обращайте внимание на коэффициенты при одинаковых переменных!):

Складываем почленно два уравнения (опять-таки, не забываем, что складываем коэффициенты при одинаковых переменных!):

Находим из первого уравнения и подставляем во второе:

Находим из второго уравнения:

Ответ:

3)

В первом уравнении перенесём в правую часть с противоположным знаком и умножим обе части уравнения на :

Сложим почленно два уравнения:

Из первого уравнения находим значение х, умножив обе части на . Подставим во второе уравнение полученное значение:

Находим значение у из второго уравнения.

Ответ:

Решите эту же систему, используя другой вариант.

Итак, способ сложения часто бывает самым простым при решении систем. Это обусловлено тем, что при сложении двух уравнений сразу получается уравнение с одной переменной, что упрощает вычисления и запись решения.

1. Умножьте одно из уравнений системы или каждое из них на какое-либо число так, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных:

2. Решить систему уравнений способом сложения:

3. Решить систему уравнений способом сложения:

4. Решить систему уравнений способом сложения:

5. Найти решение системы, используя (если это возможно) способ сложения:

3