Справочник Векторы на плоскости и в пространстве

Векторы

на плоскости и в пространстве

Понятие вектора. Длина вектора. Равенство векторов

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком или вектором.

Любая точка пространства также является вектором, нулевым вектором.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Сонаправленными называют ненулевые коллинеарные векторы

с одинаковыми направлениями.

Противоположно направленными называют ненулевые коллинеарные векторы

с противоположными направлениями.

Векторы называют равными,

если они сонаправлены и их длины равны.

:

1.

2.

Векторы называют противоположными,

если они противоположно направлены и их длины равны.

:

1.

2.

Сложение и вычитание векторов

Сложение векторов

правило треугольника

правило параллелограмма

правило многоугольника

правило многоугольника в пространстве

Вычитание векторов

Умножение вектора на число.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор ,

длина которого равна .

Если , то .

Если , то .

Свойства умножения вектора на число:

Правило параллелепипеда.
Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

ИЛИ: если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Правило параллелепипеда

сложения трёх некомпланарных векторов:

Координаты вектора

,

,

,

Простейшие задачи в координатах

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Определение координат середины отрезка

Вычисление длины вектора по его координатам

Определение расстояния между двумя точками

Скалярное произведение векторов

,

,

Скалярное произведение в координатах:

Формула вычисления косинуса угла между двумя векторами:

Содержание

Понятие вектора. Длина вектора. Равенство векторов 2

Сложение и вычитание векторов 3

Умножение вектора на число. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 4

Правило параллелепипеда. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам 5

Координаты вектора 6

Простейшие задачи в координатах 7

Скалярное произведение векторов 8