Справочный материал для 7 класса

Сложение и вычитание десятичных дробей

1.Уравняйте количество цифр после запятой

2.Запишите числа столбиком так, чтобы запятая оказалась под запятой.

3.Выполните сложение или вычитание, не обращая внимания на запятые.

4.Поставьте запятую под запятыми в сумме или разности.

Пример: 2,3+13,263

13,263

2,3

Умножение

десятичных дробей

1.Запишите числа столбиком, не обращая внимания на запятые.

2. Выполните умножение, не обращая внимания на запятые.

3. В произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе.

Пример:

1,81

1,2

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

1.Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

2.Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример:

Умножение

обыкновенных дробей

1.Смешанные числа записать в виде неправильных дробей

2.Умножить числитель на числитель, знаменатель на знаменатель; если возможно выполнить сокращение дробей.

Пример:

Деление

обыкновенных дробей

1.Смешанные числа записать в виде неправильных дробей

2.Первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример:

Сравнение чисел

1. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше,

и больше то, у которого модуль меньше.

2. Любое отрицательное число меньше нуля.

3. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Примеры:-3 -9; -1000

Сложение отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:1) сложить их модули;

2) перед полученным числом поставить знак – .

Примеры:

Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить отрицательное и положительное числа, надо:

1) вычесть из большего модуля меньший;2) перед полученным числом поставить знак того числа, модуль которого больше.

-5+7= 7 – 5 = 2

1,8 – 4,2 = - (4,2 – 1,8) = - 2,4

Правила знаков при умножении

(+) · (+) = (+)

(-) · (+) = ( - )

(+) · ( -) = ( - )

( - ) · ( - ) = (+)

( - 1,2 ) • 0,3 = - ( 1,2 • 0,3 ) = - 0,36

( - 3,2 ) • ( - 9 ) = │ - 3,2 │• │ - 9 │= 3,2 • 9 = 28,8

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Например, 0,065 × 1000 = 0065 = 65

Отношения и пропорции

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.

Равенство двух отношений называют пропорцией.

a÷b=c÷d

а и d - крайние члены пропорции, c и b- средние члены пропорции

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. a•d=b•c

Правила знаков при делении

(+) : (+) = (+)

(-) : (+) = ( - )

(+) : ( -) = ( - )

( - ) : ( - ) = (+)

( - 12 ) ÷ ( - 4 ) =│-12│ ÷ │ -4│ = 3

3,6 ÷ ( - 3 ) = - ( 3,6 ÷ 3 ) = - 1,2

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Например, 8,765 : 100 = 008,76 : 100= 0,08765

Признаки делимости

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.

Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число делится без остатка на 2.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3

Как раскрыть скобки? Если перед скобками стоит знак «+», то скобки можно просто опустить.

Если перед скобками стоит знак «-», то знаки в скобках нужно изменить на противоположные и скобки опустить.

2х – (5х – 7) = 2х – 5х + 7 = - 3х + 7

Если перед скобками стоит число, то это число нужно умножить на каждое слагаемое. 5(7х-2)= 35х – 10

Коэффициент

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют коэффициентом

0,3а • ( - 0,7 b) = - 0,21 ab

Подобные слагаемые

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

- 9х + 7х - 5х + 2х = ( -9 +7 -5 +2)х = - 5х

Деление десятичных дробей:

1.Перенести запятую в делителе и делимом на столько знаков, сколько их в делителе.

2.Делить, не обращая внимания на запятую, в частном поставить запятую, когда закончится целая часть

Решение уравнений

1.Раскрыть скобки

2.Перенести слагаемые: неизвестные в левую часть, известные в правую часть.

При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую знак слагаемого меняется на противоположный

3. Привести подобные слагаемые

4.Найти корень уравнения

Решение уравнения

1.Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

2.Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак.

Решение уравнений

Пример: 2(х-3)=5х-12

2х - 6= 5х-12

2х - 5х =-12+6

-3х=-6

х=-6:(-3)

х=2

Ответ: х = 2

Сложение:

Слагаемое + слагаемое = сумма

Вычитание:

Уменьшаемое–вычитаемое = разность

Умножение:

Множитель · множитель = произведение

Деление:

Делимое : делитель = частное

Свойство нуля и единицы:

a+0 = 0+a=a

a – 0 = a

a – a = 0

a · 0 = 0 · a = 0

a ·1 =1· a = a

0: a = 0

a : 1 = a

a : a = 1

На 0 делить нельзя!

У глы: острый прямой тупой

90°

Развернутый: = 180°

°·

С межные: 1+ 2 = 180°

1 2

В ертикальные:

3 1

2 4

1 = 2 ; 3 = 4

Положительные и отрицательные числа

Числа со знаком «+» называют положительными.

Числа со знаком « - » называют отрицательными.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Модуль числа :

Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).

│а│= а, если а ≥ 0

│а│= -а, если а

│0│=0 │4│= 4 │-5│=5