Справочный материал для решения уравнений

Уравнения с одной переменной

Определение: Равенство с переменной называют уравнением

В общем виде под уравнением понимают аналитическую запись задачи о нахождении значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны.

Поэтому уравнение с одной переменной х в общем виде обычно записывают в виде: f(x)=g(x)

Определение: Корнем (или решением) уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Определение: Решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что их нет.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Определение: Областью допустимых значений (или областью определения) уравнения или неравенства называют общую область определения для функций f(x) и g(x), стоящих в левой и правой частях уравнения.

Пример 1.

Для уравнения

ОДЗ: , т.е.

(можно также записать: ОДЗ: [-1; + ∞), так как область определения функции f(x)= определяется условием , а область определения функции g(x)=х – множество всех действительных чисел)

Уравнения-следствия (

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого. При использовании уравнений-следствий возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.

Равносильные уравнения и неравенства

Определение: Два уравнения называют равносильными (или эквивалентными) на некотором множестве (обычно на ОДЗ исходного уравнения), если на этом множестве они имеют одни и те же решения, т.е. каждое решение первого уравнения является решением второго и, наоборот, каждое решение второго уравнения является решение первого.

Решение уравнений

Следствия

Равносильные преобразования

Решение

1.Преобразования, гарантирующие сохранение верного равенства

1.Учесть ОДЗ исходного

2.Проверка (подстановкой в исходное уравнение)

2.Гарантия сохранения на ОДЗ верного равенства при прямых и обратных преобразованиях на каждом шаге решения

Использование свойств соответствующих функций

1. Конечная ОДЗ

2. Оценка левой и правой частей

3. Использование монотонности функции

4. «Ищи квадратный трехчлен» и др.

Схема выполнения равносильных преобразований уравнений

Данное уравнение или неравенство

1.Учесть ОДЗ исходного

2.Гарантировать (на ОДЗ) прямые и обратные преобразования (с сохранением верного равенства)

Как не потерять корни уравнения при сужении ОДЗ

(суженная часть ОДЗ представлена на сером фоне)

I способ

II способ

III способ

ОДЗ

ОДЗ

ОДЗ

I

II

I

II

I

Проверяем, не являются ли точки, которые находятся в этой части ОДЗ, корнями уравнения

Находим решение в этой части ОДЗ (корни)

Доказать, что в этой части ОДЗ корней нет

Найти решение в этой части ОДЗ (корни)

1. Доказать, что все корни находятся в этой части ОДЗ

2. Найти решения в этой части ОДЗ (корни)

Замена переменных при решении некоторых алгебраических уравнений

Если в уравнение переменная входит в виде некоторой функции от одного и того же выражения, то, как правило, обычно удобно это одинаковое выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной)

Примеры замены переменных

Вид уравнения

Замена (или план решения)

Примеры

Биквадратное уравнение

(приводит к квадратному уравнению)

Решение.

Замена:

Получим

Обратная замена:

Отсюда

Сводящееся к биквадратному уравнению

Решение.

Замена:

(Тогда

Получаем .

Его решения:

Тогда

Перегруппировать сомножители так (если возможно), чтобы выполнялось равенство ,

И попарно раскрыть скобки

Решение.

Перепишем уравнение таким образом:

(тогда -4+3=-2+1) и раскроем скобки.

Замена дает уравнение

Тогда

Обратная замена дает уравнение или Отсюда

Тогда и отсюда

Решение.

Замена: Тогда

Получаем

Отсюда . Решая эти уравнения, получаем

Возвратное уравнение

Уравнение вида f(x)=0,

Где f(x)- многочлен стандартного вида, у которого равны коэффициенты членов, одинаково удаленных от начала и конца уравнения

Уравнение четной степени делим на степень среднего члена и группируем члены с одинаковыми коэффициентами.

Уравнение нечетной степени всегда имеет корень делим его на (получаем возвратное уравнение четной степени)

Решение. Это возвратное уравнение четной степени. Так как не является его решением, то, разделив обе части на

( - степень с переменной среднего члена), получим уравнение, равносильное данному.

Группируя члены с одинаковыми коэффициентами, получаем уравнение , решения которого приведены выше

Линейные уравнения

Определение: Линейным уравнением с одной переменной x называют уравнение вида , где a и b – действительные числа.

Если а≠0, то линейное уравнение называют также уравнением первой степени

Схема решения

тогда

a=0

a≠0

0∙x=-b

x=-

b=0

b

Единственный корень

0∙x=0

Корней нет

х – любое число

Бесконечное множество корней

Квадратные уравнение

Определение: Уравнение вида , где a, b, c – некоторые числа, причем а≠0, называют квадратным

Уравнение общего вида

Приведенное уравнение (а=1)

- дискрминант

– дискриминант приведенного уравнения

D0

D=0

D

D

D=0

D0

Два различных корня

Два равных корня

При подсчете количества решений считается за одно значение корня

Корней нет

Корней нет

Два равных корня

, два различных корня

Теорема Виета

В общем случае

Для приведенного уравнения

Если и – корни квадратного уравнения то

Если и – корни приведенного квадратного уравнения то

Обратная теорема

Если сумма каких-то двух чисел и равна , а произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Если сумма каких-то двух чисел и равна , а произведение равно , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если и – корни квадратного уравнения , то

Пример. при

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю ( , то и тогда = при

Пример. при