Сравнительный анализ графического и координатно-параметрического методов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (РИНХ)»

ТАГАНРОГСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А.П. ЧЕХОВА

(филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)»

ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

«Сравнительный анализ графического и координатно-параметрического методов (на примере уравнений и неравенств с параметрами, содержащих рациональные функции) »

Курсовая работа

по дисциплине выбору «Координатно-параметрическому методу решения задач»

студентки 4 курса, очной формы обучения

Дровянниковой Анастасии Сергеевны

Направление подготовки: Педагогическое образование,

Профиль «Математика»

Научный руководитель:

кандидат физ.-мат. наук, доцент

Ляхова Наталья Евгеньевна

Дата сдачи « » 2014 г.

Дата защиты « » 2014 г.

Оценка

Научный руководитель / /

Таганрог

2014 год

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Теоретические аспекты задач с параметрами и методы их решения 5

1.1. Задачи с параметром и их классификация 5

1.2. Толкование понятия «параметр». Уравнения и неравенства, содержащие параметр 7

1.3. Основные стандартные методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметр 8

Глава 2. Решение рациональных уравнений и неравенств, содержащих параметр, графическим и координатно-параметрическим методами 14

Заключение 27

Список литературы 29

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Параметр- это величина, входящая в формулы и выражения, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент (кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. Задачи с параметрами представляют собой весьма широкое поле полноценной математической деятельности.

Тема данной курсовой работы «Сравнительный анализ графического и координатно-параметрического методов (на примере уравнений и неравенств с параметрами, содержащих рациональные функции)». Графический и координатно-параметрический методы одни из основных при решении задач с параметром. У каждого из них есть свои положительные и отрицательные стороны. Цель курсовой работы: изучить и посмотреть на преимущество того или иного метода решения некоторых задач с параметром (в данном случае графического и координатно-параметрического).

Объект исследования: графический и координатно-параметрический способы решения уравнений и неравенств с параметром.

Предмет исследования: решение уравнений и неравенств с параметром, содержащих рациональные функции, графическим и координатно-параметрическим способами.

Задачи исследования:

• Изучить научную литературу по данной теме и раскрыть теоретические аспекты графического и координатно-параметрического методов;

• Рассмотреть решение уравнений и неравенств с параметром графическим и координатно-параметрическим методами;

• Провести сравнительный анализ этих двух методов решения;

• Выявить отличия в ходе решения уравнений и неравенств с параметром данными методами (на одних и тех же примерах);

• Выявить недостатки и достоинства каждого из методов.

Структура работы: курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения. Так же в конце имеется список использованной литературы. В введении мы определяем цель, задачи, предмет и объект исследования. В первой главе рассказывается о задачах, содержащих параметр, и их видах, дается толкование понятия «параметр» и говорится о уравнениях и неравенствах с параметром, о методах их решения (конкретно о графическом и координатно-параметрическом методах). Во второй главе решаются уравнений и неравенства с параметром двумя методами (графическим и координатно-параметрическим), проводится сравнительный анализ хода решения и самих методов. В заключении делается вывод о преимуществах того или иного метода решения задач.

Глава 1. Теоретические аспекты задач с параметрами и методы их решения

1. Задачи с параметром и их классификация

Все возрастающая популярность задач с параметрами не случайна. Теоретическое изучение многообразных процессов и практическая деятельность человека зачастую приводят к достаточно сложным уравнениям, неравенствам или их системам, содержащих параметр. Задачи с параметрами чрезвычайно многообразны: задачи на исследование квадратичной функции и систем линейных уравнений, задачи на делимость многочленов, задачи на минимум и максимум, геометрические задачи с параметрами и т.д.

С точки зрения высшей математики любая задача с параметром может рассматриваться как задача на исследование функций как минимум двух переменных: независимого аргумента и параметра. Но так же есть задачи, в которых содержится и не одна неизвестная переменная, и не один параметр.

Существует много критериев, по которым можно систематизировать задачи с параметрами.

Например, Ф. Клейн предложил следующую систематизацию данных задач:

1. Уравнения (неравенства), содержащие один параметр.

2. Уравнения (неравенства), содержащие два параметра.

3. Уравнения (неравенства), содержащие три параметра.

Ю. М. Колягин предлагает классифицировать все математические задачи по сложности в зависимости от числа неизвестных компонентов:

1. Стандартные задачи.

2. Обучающие задачи.

3. Поисковые задачи.

4. Проблемные задачи.

Исходя из данной им классификации, задачи с параметрами относятся к поисковым задачам, в которых заданы исходные данные и поставлена цель решения.

Исследовав основные классификации задач с параметрами можно разделить их по следующим признакам:

1. Классификация «по заданию» или «по постановке» условия задачи:

1. Задачи, начинающиеся условием «решить» или «решите». Такая формулировка означает, что, указав область допустимых значений параметра, найти все общие решения на соответствующих областях допустимых значений параметра, указав и те значения, при которых задача решений не имеет.

2. Задачи, начинающиеся с условия «найти» или «найдите». Такая формулировка означает, что нужно отыскать какие-либо множества особых значений параметра, отвечающих условию задачи. Отыскивать сами решения не нужно, т.к. это не всегда возможно.

1. Классификация по теме, т.е. разделение задач с параметром по различным элементарным функциям: линейные и квадратичные уравнения (неравенства) с параметрами, иррациональные уравнения (неравенства) с параметрами и т.д.

2. Классификация по методу решения. Особенность состоит в том, что задача классифицируется вместе с методом решения.

3. Классификация по сложности:

1. «Элементарные» задачи. Решаются такие задачи при помощи простых алгоритмов.

2. «Базовые» задачи. Решаются такие задачи с использованием определенных приемов, которые нужно запомнить, вместе с решение.

3. «Нестандартные» задачи. Решаются такие задачи, опираясь на идеи и методы «элементарных» и «базовых» задач, а так же на логические размышления и находки.

1. Толкование понятия «параметр». Уравнения и неравенства, содержащие параметр

В теории решения математических задач система понятий должна быть сформулирована с учетом общематематических и психолого-педагогических требований.

В «Толковом словаре русского языка» приводится следующее определение понятия «параметр». «Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для анной частной задачи, но при переходе к другому явлению, к другой частной задаче меняющая свое значение».

В «Толковом словаре математических терминов» сказано: «Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значения которой являются постоянными в пределах рассматриваемой задачи, но которое в другой задаче меняет свои значения».

Моденов П.С., Новоселов С.И.: «Если в уравнении кроме неизвестных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами».

Голубев В. И. дает следующее определение: «Параметром называется неизвестная переменная, значение которой в данной задаче считается фиксированным».

Задачи с параметрами являются одним из наиболее трудных задач курса элементарной математики. Они требуют, прежде всего, умения проводить самостоятельные достаточно развернутые логические построения, пополнение стандартных методов решения таких задач специфическими методами.

Под понятием «задачи с параметрами» будем понимать условие задачи, представленное в виде уравнений, неравенств или их систем, совокупностей. Их решение по существу представляет собой исследование функций, входящих в условие задачи, и последующее решение уравнений, неравенств с числовыми коэффициентами.

При решении уравнений (неравенств) с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметра оно имеет решение, и найти все эти решения. В том случае, когда хотя бы одно из допустимых значений параметра не исследовано, задание не считается полностью решеным.

Из школьных учебников и справочных пособий хорошо известны следующие понятия:

• Область допустимых значений (ОДЗ);

• Область значения или область изменения функции (ОИФ);

• Условие равносильности или эквивалентности преобразований (УРП);

• Необходимые и достаточные условия (НДУ);

• Четность, периодичность, непрерывность, монотонность функций, симметричность систем уравнений и неравенств относительно всех (некоторых) переменных.

Все вышеперечисленные понятия и факты, относящиеся к понятию «функция», могут быть полезны при решении задач с параметрами.

1. Основные стандартные методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметр

Перейдем теперь к систематизации методов решения задач с параметрами. Наиболее употребительными и часто используемыми методами решения задач с параметрами являются: аналитический, графический, функциональный, координатно-параметрический. Остановится подробно на двух методах решения уравнений и неравенств, содержащих параметр: графический и координатно-параметрический.

Для успешного применения графического метода необходимо уметь строить графики элементарных функций и выполнять графические простейшие операции над ними. При решении задач с параметрами графическим методом наиболее удобно поступать следующим способом:

1. Преобразовать данное нам уравнение или неравенство так, чтобы в одной стороне осталась фиксированная функция, зависящая только от x, а в другой – функция .Тогда соотношение определяет на координатной плоскости XOY некоторую кривую, а соотношение – целое семейство кривых, в котором каждому допустимому значению параметра a соответствует одна кривая. При этом в зависимости от величины параметра a кривые семейства могут занимать принципиально различные положения относительно кривой .

2. Если таким образом преобразовать исходное уравнение (или неравенство) не удается, и в обеих сторонах равенства (или неравенства) оказываются функции вида , то можно облегчить задачу, применив следующий эффективный приём: аргумент одной из функций (выбор зависит от соображений удобства) переобозначают как , при этом не забывая вести соответствующие изменения во вторую функцию. Таким образом, получаем, что в одной стороне находиться функция , а в другой функция , то есть случай, описанный в первом пункте.

3. Выяснить какое именно геометрическое преобразование происходит над графиком в зависимости от значений, которые принимает параметр (это может быть параллельный перенос, поворот, гомотетия, сжатие к прямой).

4. Необходимо отметить на чертеже граничные положения линий семейства при переходе, через которые меняется тип взаимного расположения графика функции и линий семейства.

5. Изучая взаимное расположение графика функции с кривыми семейства при соответствующих значениях параметра a, мы получаем возможность исследовать вопрос о количестве корней уравнения в зависимости от параметра, правильно выбирать эти корни и использовать их для нахождения решений неравенств вида .

Рассмотрим теперь ход решения уравнений и неравенств координатно-параметрическим методом.

Пусть на плоскости даны две взаимно перпендикулярные с общим началом (точкой O) числовые оси. Одну из них (Ox) назовем координатной; другую (Oa) – параметрической, а плоскость (xOa или aOx) - координатно-параметрической, или КП-плоскостью.

Координатно-параметрический метод основан на нахождении множества всех точек, КП-плоскости, значения координаты x и параметра a каждой из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи условию (соотношению).

Если указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра a=const поставить в соответствие координаты x.

Решение уравнений КП-методом.

Рассмотрим уравнение:

где – некоторая функция переменной x и числового параметра a.

Пусть на КП-плоскости найдено множество всех точек, значения координаты x и параметра a каждой из которых удовлетворяют рассматриваемому уравнению.

Может оказаться, что при любом допустимом значении параметра уравнение решений не имеет () либо для некоторых значений параметра , либо уравнение имеет конечное число решений, или бесконечное множество.

Записывая ответ, поставим в соответствие каждому допустимому фиксированному значению параметра a значения искомой величины x – координаты соответствующих точек найденного множества.

Отметим два частных случая:

1. Координата x есть функция параметра a:

неявно заданная уравнением .

На КП-плоскости xOa с горизонтальной параметрической осью Oa множество всех точек, значения координаты x и параметр a каждой из которых удовлетворяют уравнению , представляет собой график функции , где роль аргумента функции играет параметр.

1. Параметр a есть функция координаты x:

неявно заданная уравнением .

В этом случае можно рассматривать КП-плоскость aOx с вертикальной параметрической осью и интерпретировать множество всех точек, значения координаты и параметры каждой из которых удовлетворяют уравнению , как график функции , где роль аргумента функции играет координата.

Следует отметить, что в рассматриваемом КП-методе центральное место занимает нахождение множества всех точек КП-плоскости, определяемых уравнением .

Рассмотрим теперь решение неравенств, содержащих параметр, координатно-параметрическим методом. Для их решения хорошо применим метод «частных областей» (МЧО). Его идея заключается в том, что решение задачи в исходной области сводится к решению её или совокупности более простых задач в каждой из «частичных областей», из которых составляется исходная область. Применение МЧО при решении неравенств с параметрами во многом аналогично применению метода «интервалов» для решения неравенств с одной переменной.

Решение неравенств КП-методом.

Рассмотрим неравенство

где - многочлен, аргументами которого являются переменная x и параметр a.

Пусть уравнение определяет некоторые линии на КП-плоскости. Разобьем этими линиями КП-плоскость на конечное число n «частичных областей» , ограниченных линиями . В каждой из «частичных областей» многочлен отличен от нуля, так как точки, в которых принадлежат границе этих «частичных областей».

Справедлива теорема: в каждой из областей , на которые линии делят КП-плоскость, многочлен либо положителен, либо отрицателен.

Таким образом, решение неравенства – множество всех пар чисел , при которых неравенство выполняется, образует совокупность (объединение) тех областей , в которых значение многочлена положительно.

Для установления, какое из неравенств или выполняется в данной области достаточно вычислить значение в какой-нибудь определенной точке этой области.

Аналогично рассматривается решение неравенства , где – многочлен, аргументами которого являются переменная x и параметр a.

Рассмотрим неравенство вида

где – некоторая (неалгебраическая) функция переменной x и параметра a.

Сформулируем для этого неравенства алгоритм МЧО на основе КП-метода.

1. Найдем на КП-плоскости ОДЗ (область допустимых значений переменной и параметра) – множество всех точек, при значениях координаты и параметра каждой из которых выражение определено.

2. Построим на КП-плоскости линии, состоящие из всех точек, при значениях координаты x и параметра a каждой из которых выражение обращается в нуль или не существует, и разобьем этими линиями найденную ОДЗ на «частичные области».

3. Исследуем знак выражения в каждой из полученных «частичных областей». Для этого достаточно, например, установить знак выражения в какой-нибудь точке каждой из «частичных областей».

Решением рассматриваемого неравенства будут те из «частичных областей», в которых выражение положительно. Неравенство решается аналогично.

Глава 2. Решение рациональных уравнений и неравенств, содержащих параметр, графическим и координатно-параметрическим методами

Пример 1. Для каждого действительного значения параметра а решить неравенство

Решение:

1. Графический метод:

Применяем алгоритм графического метода для решения неравенства. Рассмотрим функцию и функцию , представляющую собой семейство прямых. Их графики будут иметь вид:

y

x

Решим уравнение вида:

При неравенство выполняется при и при ..

При неравенство выполняется при .

1. Координатно-параметрический метод:

Применяем алгоритм решения неравенств КП-методом.

Область определения функции: .

Нули функции:

Построим график и расставим знаки в областях, на которые разбилась наша плоскость. Так как, наше неравенство имеет вид , то заштрихуем области со знаком «+».

Решим уравнение:

При , .

При ,

ОТВЕТ: При , .

При ,

Пример 2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных не отрицательных корня.

Решение:

1. Графический метод:

Рассмотрим две функции и . График функции представляет собой семейство прямых параллельных оси Ох.

Рассмотрим подробно функцию .

Найдем нули функции:

Раскроем скобки, получаем . Графиком данной функции является парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы:

Построим график:

x	0	1	-1	2	3
y	2	2	0	0	-4

Так как нам нужно найти два неотрицательных корня, значит будем рассматривать правую полуплоскость .

При уравнение имеет один неотрицательный корень.

При уравнение имеет два различных неотрицательных корня.

При уравнение имеет два совпадающих неотрицательных корня.

1. Координатно-параметрический метод:

Раскроем скобки левой части равенства и заменим его равносильным:

На КП-плоскости xOa множество всех точек , значение координаты и параметра каждой из которых удовлетворяет данному уравнению, представляет собой параболу – график функции . Ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы:

Построим график:

x	0	1	-1	2	3
y	2	2	0	0	-4

Так как нам нужно найти два неотрицательных корня, значит будем рассматривать правую полуплоскость .

При уравнение имеет один неотрицательный корень.

При уравнение имеет два различных неотрицательных корня.

При уравнение имеет два совпадающих неотрицательных корня.

ОТВЕТ: При уравнение имеет два различных неотрицательных корня.

Пример 3. Для каждого значения параметра а решить неравенство .

1. Графический метод:

Рассмотрим функцию и функцию .

Графиком функции является семейство прямых. Графиком функции является парабола, полученная путем сдвига параболы на одну единицу вниз вдоль оси Oy. Ветви направлены вверх.

Построим графики функций:

Рассмотрим рисунок (Б) и найдем, при каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение. Это имеет место тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения равен нулю.

Для того чтобы записать правильно ответ, найдем еще корни уравнения :

При парабола находится выше прямой и исходное неравенство выполняется при всех х.

При парабола и прямая касаются в точках , значит, неравенство выполняется при всех х кроме .

При , .

1. Координатно-параметрический метод:

Заменяем исходное неравенство уравнением . Выразим из этого уравнения a:

Найдем асимптоты, для этого поделим числитель на знаменатель правой части уравнения :

Получаем две асимптоты и .

Для построения графика воспользуемся производной к уравнению :

На числовой оси отметим корни получившегося уравнения и расставим промежутки знака постоянства, а так же укажем стрелками поведение функции:

Найдем значение a при и и построим график:

Чтобы построить график, нанесем асимптоты и расставим знаки в областях, на которые разбилась наша плоскость. Так как, наше неравенство имеет вид , то заштрихуем области со знаком «+».

Для того чтобы записать правильно ответ, нам нужно выразить х через а. Найдем корни уравнения :

При и :

При :

При :

При :

ОТВЕТ:

При и :

При :

При :

При :

Пример 4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет один единственный корень.

1. Графический метод:

Преобразуем данное уравнение:

Введем две функции и .

Рассмотрим первую функцию и преобразуем ее к виду . Графиком являются биссектрисы первого и второго координатных углов со сдвигом на одну единицу влево по оси Ох и на четыре единицы вниз по оси Оу. Найдем ветви биссектрис, для этого раскроем правую часть уравнения по правилу модуля:

и

и .

Рассмотрим вторую функцию . Она представляет на координатной плоскости семейство прямых.

Построим график

При уравнение имеет единственный корень.

При уравнение имеет два корня.

При уравнение имеет единственный корень.

1. Координатно-параметрический метод:

Декомпозируем наше исходное уравнение :

Построим график функции:

При уравнение имеет единственный корень.

При уравнение имеет два корня.

При уравнение имеет единственный корень.

ОТВЕТ: При и .

Заключение

Рассмотрев ход решения рациональных уравнений и неравенств, содержащих параметр, графическим и координатно- параметрическим методами и проведя сравнительный анализ между ними, можно сделать следующие выводы:

1. При графическом методе решения графики функций подвергаются геометрическим преобразованиям, то есть фактически мы имеем дело с семейством линий, зависящим от параметра. Это обстоятельство затрудняет снятие информации, так как процесс необходимо представить в динамике, выявить граничные положения графиков, в которых происходит изменение их взаимного расположения. Информация снимается как бы с «подвижной картинки», что и вызывает определенные трудности. При решении этих же задач координатно-параметрическим методом, построив графический образ, имеем «статичную картинку», то есть графики рассматриваемых функций фиксированы, поэтому при записи ответа задачи снимать информацию с этой картинки проще.

2. Заметим, что в примере два, где функция независящая от параметра, приравнивается к параметру, выбор метода не имеет значения, так как фактически в этой ситуации координатно-параметрический и графический методы совпадают.

3. Кроме того, выбор метода существенно зависит от возможностей строить графики функций, возникающих при решении задачи тем или иным методом. Третий из рассмотренных примеров показал, что при использовании координатно-параметрического метода возникла необходимость, при исследовании функции и построении графика применять производную, в то же время при решении той же задачи графическим методом мы обошлись построениями графиков элементарными методами (то есть без привлечения производной).

Из сделанных выводов, особенно из пункта 1, становится понятно, почему при выборе метода решения задачи с параметром часто отдается предпочтение именно координатно-параметрическому методу. Метод достаточно нагляден и выполняется в соответствии с понятным алгоритмом: изобрази графический образ, сними с чертежа информацию и запиши ответ. Сфера применения этого метода ограничена только трудностями, с которыми можно столкнуться при построении графического образа.

Список литературы

1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: справочное пособие по математике.- М.: Асар, 1996.

2. Ваховский Е.Б., Рывкин А.А. Задачи по элементарной математике.- М., 2004.

3. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике.- М.: Илекса, 2007.

4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное.- М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998.

5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1-2.- М.: Москва, 1987.

6. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. 1-2.- М.: Просвещение, 1977.

7. Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения.- М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО Издательство «Мир и Образование»,2007.

8. Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов.- М.: Москва, 1989.

9. Мирошин В.В. Решение 3адач с параметрами. Теория и практика.- М.: Издательство «Экзамен», 2009.

10. Моденов В.П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод.- М.: Издательство Москва, 2007.

11. Моденов В.П. Грани математики: координатно-параметрический метод.- М.: Издательство отдел УНЦ ДО МГУ,1999.

12. Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб.пособие.– М.: Издательство МГУ, 2003.

13. Окунев А.А. Графическое решение уравнений с параметрами.- М.: Издательство «Школа – Пресс», 1986.

14. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. – М.: МИЭТ, 2004.

15. Родионов Е.М. Решение задач с параметрами: Пособие для поступающих в вузы. – М.: МП «Русь-90», 1995.

16. Субханкулова С. А. Задачи с параметрами.- М.:Илекса, 2010.

17. Толковый словарь русского языка.: В 4 т. Под ред. Д. Н. Ушакова.- М.: ИДДК, 2004.

18. Шестаков С.А., Юрченко Е.В. Уравнения с параметром.- М.: Слог, 1993.

19. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами.- М., Просвещение, 1986.