Статья по математике

Сумма степеней n натуральных чисел.

Задача 1. Найти сумму: 1 + 2 + … + n.

Мы знаем формулу квадрата суммы Это тождество справедливо для любого n. Распишем формулу в несколько строчек при различных n, начиная с 0, получим:

………………………………….

………………………………….

Складываем

Обозначим , получили формулу расчета

Докажем справедливость полученной формулы методом математической индукции

1. Проверим справедливость при n = 1. - справедлива 1 = 1.

2. Предположим, что формула справедлива при всех значения до n, то есть равенство верно и проверим верность для n+1.

Получили верное утверждение для любого n.

Задача 2. Найти сумму:

Для решения этой задачи будем использовать формулу куба суммы. .

Будем выполнять точно такой же алгоритм вывода формулы:

0,

1,

2,

……………………………………………….

……………………………………………….

n-1,

n, Складываем:

Введем обозначения:

Получим:

;

Докажем, аналогично, как и в первой задаче методом математической индукции:

1. n = 1 верное.

2. Справедливо при n

3. Доказываем справедливость при n+1.

Формула справедлива. .

Задача 3. Найти сумму: .

Все повторяем снова, меняется только формула.

0,

1,

……………………………………………………..

n,

n+1,

=.

Аналогично доказываем справедливость полученного результата.

2. =

3.

Справедливость формулы доказана.

Задача 4. Найти сумму четвертых степеней натуральных чисел.

Из соотношения можно получить сумму четвертых степеней по аналогии:

;

=

Доказывается также, можно выполнить самостоятельно

Задача 4. Найти сумму пятых степеней натуральных чисел.

Все также как и выше.

;

Для других степеней подобные соотношения для нахождения суммы степеней похожие:

Во всех соотношениях используются коэффициенты из бинома Ньютона, которые определяются формулой: .

В общем виде соотношение для вывода формулы суммы выглядит так:

В случае необходимости можно подобным образом находить суммы степеней n натуральных чисел.