Статья "Современные открытия в области математики"

Частное учреждение образовательная организация высшего образования
«Омская гуманитарная академия»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
на тему:
Современные открытия в области математики.

по учебной дисциплине: математика

Выполнил: Азбукин С.Д.
Фамилия И.О.
Направление подготовки:
Государственное и муниципальное управление
Форма обучения: заочная

Омск, 2018

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

В отличие от других наук, математика, как представительница чистого разума, развивается поступательно, вне зависимости от увлечений человечества на том или ином историческом промежутке времени, от революций и катаклизмов общества. Иногда математики любят ставить проблемные вопросы, на решение которых уходят столетия.

Основой развития математики в XX веке стал сформировавшийся математический язык цифр, символов, операций, геометрических образов, структур, соотношений для формально–логического описания и исследования действительности. Язык математики – это искусственный язык, со всеми его недостатками и достоинствами. Он часто точнее, адекватнее и глубже отображает реальность, чем это делается в рамках других наук. Чем чаще наука прибегает к языку математики, тем больше она эволюционирует, тем более глубокие связи и отношения она сможет изучить.

Именно, потому что прогресс не стоит на месте и всегда находится человек, который «сомневаться», в современном мире продолжается множество открытий, доказательств, теорем аксиом и т.д. в области математики.

Большинство великих математиков родились в Советском Союзе, хоть сейчас многие из них и не живут в этих странах, и это большое упущение властей. Открытия, которые они делают оказывают большое влияние на все развитие науки в целом.

Цель: проанализировать Современные открытия в области математики.

Задачи:

1. Провести теоретический анализ литературы по теме исследования.

2. Рассмотреть современные открытия в области математики.

3. Охарактеризовать гипотезу Пуанкаре и Перельман, как самое большое открытие в математике XXI века.

1.Современные открытия в области математики

Современные открытия в области математики в первую очередь связаны с именем петербургского математика Григория Перельмана. Он известен своими работами по теории пространств Александрова и тем, что сумел доказать ряд гипотез. 

В 2002 году Григорием Перельманом была впервые опубликована новаторская работа, посвященная решению одного из частных случаев гипотезы геометризации Уильяма Терстона. Из нее следует справедливость известной гипотезы Пуанкаре, которую сформулировал в 1904 году французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Описанный Перельманом метод изучения потока Риччи назвали теорией Гамильтона–Перельмана [3]. 

В 2006 году Григорий Перельман решил гипотезу Пуанкаре, за что ему было присуждена международная премия «Медаль Филдса», но он от нее отказался. В 2006 году журнал Science назвал доказательство теорем Пуанкаре научным прорывом года. Это первая работа, которая заслужила такое звание. 

В 2007 году британской газетой The Daily Telegraph был опубликован список ста ныне живущих гениев. В нем Григорий Перельман находится на девятом месте. Помимо Перельмана, в этот список вошли всего лишь два россиянина – Гарри Каспаров и Михаил Калашников. 

В 2010 году Математический институт Клэя присудил Перельману премию в размере 1 миллион долларов США за то, что он доказал гипотезу Пуанкаре. Впервые в истории премия была присуждена за решение одной из Проблем тысячелетия [3]. 

В 1900 году на математическом конгрессе в Париже Давид Гильберт предложил список из 23 проблем, которые должны быть решены в 21 столетии. На сегодняшний день разрешена 21 проблема. В 1970 году выпускник матмеха Ю.В. Матиясевич завершил решение десятой проблемы Гильберта. 

В начале 21 века в Математическом институте Клэя был составлен аналогичный список из семи важнейших задач математики на 21 столетие. При этом за решение каждой из них объявлялся приз размером 1 миллион долларов. Еще в 1904 году одну из важнейших задач сформулировал Пуанкаре: все трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Если говорить простыми словами, то гипотезу Пуанкаре можно изложить так: если трехмерная поверхность в чем–то имеет сходство со сферой, то ее можно расправить в сферу. Утверждение Пуанкаре называют формулой Вселенной из–за его важности в изучении сложных физических процессов в теории мироздания и из–за того, что оно дает ответ на вопрос о форме Вселенной. Данное открытие играет свою роль и в развитии нанотехнологий [1]. 

Что касается других современных открытий в области математики, за прошедшие годы был решен ряд важнейших классических проблем, которые сохраняют актуальность в современной науке, намечены и развиты новые пути исследований, поставлены и решены серьезные прикладные задачи. Все это стало возможным благодаря инновационным технологиям.

Например, в Математическом институте им. В.А. Стеклова академик А.А. Болибрух решил классическую проблему сведения произвольной неприводимой системы линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами к стандартной биркгофовой форме при помощи аналитических преобразований. 

В Санкт–Петербургском отделении того же института академик Л.Д. Фадеев разработал новый метод исследований квантовых интегрируемых моделей, в основе которого лежит постулирование дискретности переменных пространства–времени при сохранении точной интегрируемости моделей. Из единой дискретной модели как предельные случаи могут быть получены основные модели квантовых интегрируемых систем с непрерывным пространством–временем. 

В Институте математики им. С.А. Соболева СО РАН академик Ю.Л. Ершов сумел построить принципиально новое расширение поля рациональных чисел при помощи разрабатываемой им в течение нескольких лет теории локальных полей. 

Коллектив ученых Института вычислительной математики РАН построил модели, основанные на применении сопряженных уравнений гидротермодинамики для анализа глобальных изменений окружающей среды и, прежде всего, климата [5]. 

В 2000 году Межведомственный суперкомпьютерный центр совместно с НИИ «Квант», Институтом прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН и другими организациями создал и ввел в эксплуатацию многопроцессорную вычислительную систему МВС–1000/М с пиковой производительностью 1 триллион операций в секунду. Данная система представляет собой самый мощный суперкомпьютер в сфере науки и образования страны и является головным образцом нового поколения отечественной линии систем массового параллелизма. 

2.Гипотеза Пуанкаре и Перельман – самое большое открытие в математике XXI века

Гипотеза Пуанкаре – доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002–2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году, гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2018 год) решённой задачей тысячелетия.

Гипотеза звучит так: всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Односвязное, то есть такое, любую замкнутую линию в котором можно стянуть в одну точку (условно – сфера, а не тор, так как на торе это помешает сделать «дырка»). Компактность в топологии является обобщением свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах. В простейшем одномерном случае компактным является, например, отрезок, так как при любом растяжении он останется ограничен некоторыми точками. А вот открытый интервал на прямой можно растянуть до бесконечной прямой, то есть он некомпактен. Трехмерное многообразие без края – это такой геометрический объект, в котором каждая точка имеет открытую окрестность в виде трехмерного шара. Примером его может служить «внутренность» тора, полноторие. Однако если добавить к нему поверхность, сам тор, то у граничных точек не будет окружения со всех сторон, а значит такой объект будет многообразием с краем. Гомеоморфизм устанавливает соответствие между объектами одного класса (условно «сфера» или «тор»). Трехмерная сфера – это поверхность четырехмерного шара. Представить его людям, живущим в трехмерном пространстве, конечно, нелегко [6]. 

1.Иллюстрация гипотезы Пуанкаре для двумерной поверхности («обруч» на сфере)

Чтобы понять гипотезу Пуанкаре, математики предлагают провести мысленный эксперимент, например такой: «Возьмем ракету и привяжем к ней очень длинную веревку и запустим ракету в космос. Ракета с привязанной к хвосту веревкой облетает всю Вселенную и благополучно возвращается на Землю. И теперь у вас в руках оба конца веревки, которую протащили через всю Вселенную. Получилась гигантская петля. Теперь можно вытянуть всю веревку, стягивая петлю. Когда мы вытянем ее всю, что мы сможем сказать о форме Вселенной? Если вы протащите веревку через всю Вселенную и в любом случае сможете стянуть ее до конца, разве вы не признаете, что Вселенная в принципе имеет форму шара?» Таким образом мы бы доказали, что Вселенная представляет собой односвязное многообразие, то есть ее можно стянуть в точку, а, следовательно, и ее появление даже из бесконечно малого «зародыша» не противоречит топологии. Однако если это не удастся, то получается, что Вселенная обладает более сложной топологией, как минимум не проще, чем у тора. Так доказательство гипотезы приобретает мировоззренческое значение.

Человек не может взглянуть на Вселенную со стороны, однако Пуанкаре предположил, что можно математически доказать принадлежность формы Вселенной к тому или иному классу, что и предполагает гипотеза. Первые два доказательства – самого Пуанкаре и человека, обратившего внимание математиков на гипотезу, Джона Уайтхеда, – быстро были опровергнуты самими авторами. Однако интерес к гипотезе нарастал: доказать ее пытались лучшие умы, но безуспешно. Иногда, как в случае математика греческого происхождения Христоса Папакириакопулоса, стремление найти доказательство приобретало характер одержимости, но не приводило к значительным подвижкам. Другому математику, американцу Стивену Смейлу, удалось доказать гипотезу, но только для пространства с большим, чем четыре, числом измерений. Еще один американец, Майкл Фридман, доказал гипотезу для четырехмерного пространства, за что получил медаль Филдса. Однако использовать эти достижения для трехмерного пространства было невозможно [6]. 

Найти доказательство гипотезы удалось лишь через 98 лет после ее создания российскому математику Григорию Перельману. Он опубликовал в электронном архиве научных статей и препринтов три статьи, по сути, содержащие это доказательство. По сути – потому что обоснованные в них положения не являются доказательством гипотезы Пуанкаре, но снимают основные проблемы, стоявшие перед математиками. Перельман сделал основную часть работы, оставив приведение доказательства к законченному виду своим коллегам. На это ушло несколько лет: задача осложнялась тем, что в работе использовались не привычные топологам методы, а принципы и понятия дифференциальной геометрии и физики.

Так как заявления о том, что доказательство найдено, звучали уже не раз, неудивительно, что поначалу и к статьям Перельмана отнеслись скептически. Его приглашали в Принстон и другие ведущие университеты с циклом лекций, раскрывающих смысл доказательства. И лишь в 2006 году было вынесено решение – доказательство Перельмана верно, а гипотезу Пуанкаре следуют считать доказанной. За это Перельману присудили премию Филдса, однако принять ее он отказался [6]. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математика – уникальная наука. Она способствует выработке адекватногопредставления и понимания знания. «Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математическиедоказательства» – писал Леонардо да Винчи.

В настоящее время исследования ученых убедительно показали, что возможности людей, которых обычно называют талантливыми, гениальными – не аномалия, а норма. Задача заключается лишь в том, чтобы раскрепостить мышление человека, повысить коэффициент его полезного действия, наконец, использовать те богатейшие возможности, которые дала ему природа, и о существовании которых многие подчас и не подозревают. Поэтому особо остро в последние годы стал вопрос о формировании общих приемов познавательной деятельности.

Таким образом, математика является системообразующей наукой, играющей особую роль во всей системе знаний. С уровнем развития математики непосредственно связан уровень развития других наук. Благодаря достижениям в области математики, совершаются открытия в биологии и медицине. Математика является основной производящей силой в обществе, поэтому современные открытия в области математики влияют на судьбу человечества в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гнеденко, Б.В. Математика и математическое образование в современном мире / Б.В. Гнеденко. – М., Просвещение, 2015. – 177 с.

2. Колмогоров, А.Н. Математика в ее историческом развитии / А.Н. Колмогоров. – М.: Наука, 2015. – 325 с.

3. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – М.: Просвещение, 2017. – 160. –25 с.

4. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – М.: Наука, 2014. – 328 c.

5. Стюарт, И. Величайшие математические задачи / И. Стюард. – М.: Альпина нон–фикшн, 2015. – 460 с.

6. Тихомиров, В.М. Великие математики прошлого и их великие теоремы / В.М. Тихомиров. – СПб: Питер, 2016. – 723 c.

7. Фор, Р. Современная математика / Р. Фор, А. Кофман, М. Дени–Папен. – М., Мир, 2016. – 311 с.

8. История математики / под ред. А.П. Юшкевича. Т. 1–3. – М., Наука, 2007. – 512 с.