Статья "Способы моделирования в математике"

Автор: Берсенева Юлия

МБОУ «СОШ № 18»,ученица 7 класса

Научный руководитель: Дайбова Юлия Владимировна

учитель математики высшей категории

Способы моделирования в математике

«Мышление начинается с удивления» – заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления. Любая геометрическая задача начинается с чертежа - и уже на этом этапе у многих школьников возникают трудности. В геометрии важно развивать пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление. Пространственное воображение - это умение мысленно моделировать и «представлять» различные проекты или конструкции, видеть их внутренним зрением в цвете и деталях. Тема многогранники одна из необычных. В процессе самостоятельного изготовления моделей многогранников, образ создается по частям, с ним легко производить манипуляции, все свойства легко познаются и прочно закрепляются в памяти.

ЦЕЛЬ: изучение способов моделирования многогранников и выдвинули гипотезу, что моделирование помогает развитию пространственного воображения у школьников. Для реализации цели и подтверждения гипотезы нам необходимо было решить следующие задачи:

• Систематизировать изученную информацию.

• Выяснить преимущества компьютерного моделирования правильных многогранников.

• Провести анкетирование среди обучающихся 6, 7, 10 классов.

• Изготовить модели правильных многогранников.

Объект исследования: моделирование в математике

Предмет исследования: моделирование правильных многогранников

Методы работы: анализ литературы и интернет ресурсов; анкетирование; моделирование; использование средств информационных технологий

Пространственное воображение - это умение мысленно моделировать и «представлять» различные проекты или конструкции, видеть их внутренним зрением в цвете и деталях.

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.[1] Выпуклые многогранники: классические (призма, пирамида, рис.1), правильные, полуправильные. Невыпуклые многогранники (звёздчатые, рис.2). Леонард Эйлер в 1752 г. доказал формулу: «Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2, то есть Г + В = Р + 2».

Рис.1 Рис.2

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону (рис.3), описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха (рис.4). Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников.

Рис.3 Рис.4

Многогранник называется правильным, если: он выпуклый; все его грани - равные правильные многоугольники; в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.[1] Для правильных многогранников формула Эйлера выполняется (табл. 1).

Табл.1 Рис.5

Существует 5 правильных многогранников (рис.5). Подтвердить это можно с помощью развёртки многогранного угла. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360 градусов (табл.2).

Табл.2 Фото1

Практическим этапом моей работы стало изготовление моделей многогранников. Если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам, а затем развернуть её на плоскости, то получится фигура, которую называют развёрткой многогранника. При изготовлении развёрток многогранников из бумаги и картона можно выделить несколько этапов работы.

Моделирование многогранников из разверток

1. Начертить развертку многогранника (с клапанами для склеивания).

2. Вырезать развертку.

3. Согнуть по линиям сгиба (предварительно по линиям сгиба аккуратно по линейке провести лезвием).

4. Склеить.

5. Произвести окантовку рёбер или окрашивание граней, наклейку на грани многогранника тонкой цветной бумаги и т.д. (фото 1).

Геометрический конструктор

Существует другой, более «быстрый» способ изготовления моделей многогранников из так называемого геометрического конструктора. Его автором является американский архитектор Фред Бассени (фото 2), а подробно описан он отечественным математиком Юрием Матиясевичем (фото 3) в статье «Модели многогранников». Конструктор состоит из следующих компонентов: грани будущих многогранников, у которых обрезаны уголки и добавлены отгибающиеся клапаны (рис.7). Резиновые колечки – основная крепежная деталь конструктора (рис.8).[3] Использование геометрических конструкторов создаёт оптимальные условия для развития пространственного воображения, мышления, творческих и комбинаторных способностей школьников.

фото 2 фото 3 Рис.7

Рис.8

Мною был проведён опрос среди обучающихся 6, 7 и 10 классов. Анализ ответов (диаграмма 1) показал, что ре­бятам довольно легко представить себе многогранник, имея только его описание. Однако, школьники 6, 7 классов проявили интерес к его электронной 3D модели и хотели бы узнать об этом больше информации. Поэтому я рассмотрела одну из программ, с помощью, которой можно создавать модель многогранника.

диаграмма 1

Динамическая среда GeoGebra/

С помощью программы Geogebra возможно получать наглядные динамические иллюстрации, воспроизводить детали, которые могут быть упущены из виду при словесном объяснении и работе с чертежами. Программа позволяет моделировать и решать различные алгебраические и геометрические задачи, строить графики функций, находить наибольшие и наименьшие значения, получать изображения плоских и пространственных фигур, проводить дополнительные построения, создавать анимацию рисунков.[2]

Кроме того, эта программа позволяет ставить геометрические опыты, проводить эксперименты, иллюстрировать формулы и теоремы, устанавливать зависимости между геометрическими величинами и мн. др.[2] Для наглядности я создала модель октаэдра (видео).

Работа имеет практическую ценность: использование материала при изучении темы «Многогранники».

Работая с научной литературой, я познакомилась с видами многогранников, интересными фактами из истории правильных многогранников, способами их моделирования

«Модель – это основная форма, при помощи которой математика связана с внешним миром». Ю.А. Митропольский.

Список использованной литературы:

1. Смирнова И. М. В мире многогранников: Кн. Для учащихся. - М.: Просвещение, 1995 144 с.

2. Геометрия с GeoGebra. Стереометрия / Смирнов В.А., Смирнова И. М. – М.: «Прометей», 2018. – 172 с.

3. Матиясевич Ю., «Модели многогранников»: Научно-популярный физико-математический журнал "Квант", №1 – 1978

4. https://www.geogebra.org/

2