Статья "Уравнения и неравенства как математические модели"

уравнения и неравенства как математические модели

Содержание

Введение

Математическая статистика − наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании). Любой творчески работающий специалист физического воспитания в ходе своей работы получают фактический экспериментальный материал (первичный цифровой массив). Если эти данные не будут корректно обработаны с помощью методов математической статистики, то их работа теряет всякий теоретический и практический смысл.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

Цель: проанализировать уравнения и неравенства как математические модели.

Задачи:

1. Провести теоретический анализ литературы по теме исследования.

2. Рассмотреть:

• примеры решения уравнений с параметрами как математической модели;

• вид соотношений с выделенными параметрами;

• пример решения неравенства с параметром.

1. Сформулировать выводы.

1.Примеры решения уравнений с параметрами как математической модели

Ряд проблем в различных отраслях человеческой деятельности может быть изучен математическими методами. На этом пути, применяя язык математики, изучаемым явлениям ставят в соответствие модельные явления. Если они описаны с помощью математических правил, то такие модели называются математическими. Примером такого процесса является процесс решения простейших так называемых «текстовых» задач с помощью сведения их к уравнениям или неравенствам [7].

Любая предметная область характеризуется своим набором понятий связей между ними. Каждая предметная область имеет свои специфические методы решения задач. Необходимость в формализованном представлении знаний возникла в связи с их обработкой средствами компьютерной техники. Методология моделирования и формализации концептуальных знаний, ориентированная на их компьютерную обработку, является одной из основных тем развития искусственного интеллекта [7].

Под моделью мы будем понимать «систему произвольной природы, отражающую свойства, характеристики и связи моделируемого объекта (объекта-оригинала), которые считаются существенными для решения данной задачи» [5, с. 46]. При этом отсутствие в модели несущественных элементов не менее важно, чем присутствие в ней существенных. 

Главное назначение модели состоит в упрощении получения информации о свойствах объекта-оригинала. Полное соответствие модели оригиналу невозможно по определению.

Приведем пример.

Пример. Рассмотрим уравнение . Его можно понимать как квадратное уравнение относительно неизвестного х , а можно понимать как квадратное уравнение относительно неизвестного а с параметром х. Следует же понимать это уравнение как уравнение с двумя неизвестными х и а. В левой части уравнения стоит математическое выражение от двух аргументов х и а.

Множество решений такого уравнения – это множество пар чисел, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство.

Взгляд относительно х говорит о решении уравнения относительно х. В этом случае аргументы х и а считают неравноправными. Поэтому необходимо выразить при решении х через а, которое называют «параметром».

Можно рассмотреть это уравнение по-другому, взгляд относительно а: необходимо иметь ответ в таком виде, чтобы для каждого значения а было указано, какие числа х в паре с этом а дают решения данного уравнения.

На этом пути, если брать разные основания для классификаций (например, от вида математического выражения, задающего уравнение) и учитывая разные взгляды на аргументы, входящие в это математическое выражение, получим спектр разных типов уравнений (неравенств).

1.1.Вид соотношений с выделенными параметрами

В реальных задачах (например, с физическим содержанием) естественно вводится неравноправие аргументов, входящих в уравнение. Они делятся на «неизвестные», обозначаемые, как правило, последними буквами латинского алфавита (…, x, y, z), и «параметры» – обозначаемые первыми буквами (a, b, c,…) [7].

Рассмотрим один из способов решения задачи с параметрами:

значение параметра (или параметров, если их несколько) считается произвольно фиксированным, и затем ищется решение задачи так, как обычно обращаются с уравнениями и неравенствами с одним неизвестным.

Ответом должно быть перечисление решений для каждого допустимого значения параметра.

Например, ответ при решении неравенства лучше всего записывать в виде:

при решений нет;

при имеем любое х из [7].

Отметим, что выяснение зависимости решений от значений параметра есть часть процесса решения задачи. Иногда это называют исследованием и отделяют от непосредственного решения. Необходимо запомнить и уяснить, что решение задачи с параметрами без такого этапа не дает решение. Задача нерешена!

1.2.Пример решения неравенства с параметром

Решить неравенство

.

Решение. 1) Находим естественную область определения. Это множество пар , при которых выражение, задающее задачу определено. Имеем, что .

2) Так как рассмотрим сначала случай . Тогда все пары , входящие в область определения, являются решениями.

3) Рассмотрим случай . Тогда . Исследуем дискриминант получившегося трехчлена. Он равен .

3.1. При действительных решений нет.

3.2. При , решая квадратное неравенство, имеем, что . Однако теперь надо согласовать полученное условие с условиями: и . Это при водит к системе неравенств: Получаем, что х должен быть больше (или равен) каждого из трёх чисел 0, . Поэтому надо знать, как они расположены на числовой оси в зависимости от параметра а. Рассмотрим варианты: а) первое число больше третьего .

б) первое число больше второго .

Получаем два случая: и .

3.2.1) Пусть . В этом случае из трех исходных чисел самым большим является первое – число 0. Остаются условия и .

3.2.2) Пусть . Теперь первое число меньше второго и третьего. Сравним второе и третье: .

Это не выполняется ни при каких а. Итак, в этом случае третье число наибольшее. Получили, что . Объединив все случаи, получим

Ответ. 1) если , то решений нет;

2) если , то ;

3) если , то .

Как уже отмечалось, задачи с параметрами могут бать по-разному классифицированы:

• по виду математического выражения (линейные, квадратные и т.д.);

• по количеству неизвестных и выражений (системы и т.д.);

• по количеству параметров [7].

Выделены и классы методов их решения (формальный, геометрический и др.).

Пример математической модели.

Задача

Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков. Причем первой мебельной фабрике нужно заменить три станка, а второй-семь. Заказы можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовить не более 6 станков, а второй завод примет заказ если их будет не мение трех. Требуется определить как размещать заказы [8].

Решение

Введем переменные: xij-количество станков, которое будет изготавливать i-й завод для j-й фабрики.

По условию задачи:

x11+x12 6

x21+x22 3

Кроме того, должны выполняться условия:

x11+x21=3

x12+x22=7

Получаем систему ограничений в форме неравенств и уравнений:

x11+x21=3

x12+x22=7

x11+x12 6

x21+x22 3

xij 0; i=1,2; j=1,2;

Мы составили математическую модель нашей задачи. Решая систему мы найдем множество различных решений. Вот одно из них:

x11 = 2,

x12 = 3,

x21 = 1,

x22 = 4.

Оптимальное решение будет зависеть от других параметров, отдаленности заводов, цены на станки и т.д.

Заключение

Таким образом, в ходе исследования мы проанализировали уравнения и неравенства как математические модели.

Рассмотрели:

• примеры решения уравнений с параметрами как математической модели;

• вид соотношений с выделенными параметрами;

• пример решения неравенства с параметром.

Список литературы

1. Бантова М.А. Методическое пособие к учебнику математики. – М.: Просвещение, 2011. – 64 с.

2. Гусева, Е.Н. Экономико-математическое моделирование. – М.: Флинта, 2011. – 439 с.

3. Лагутин, М.Б. Наглядная математическая статистика. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 472 с.

4. Трусов, П. Введение в математическое моделирование. – М.: Логос, 2009. – 440 с.

5. Чикаш, С.Л. Математическая статистика в спорте. − Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2007. − 58 с.

6. Шеломовский, В.В. Математическая статистика. – Мурманск: МГПУ, 2009. – 128 с.

7. Уравнения и неравенства с параметрами как математические модели [Текст]: http://school-collection.iv-edu.ru/dlrstore/5d6a86b6-66ed-5934-b848-6708d909049d/11_13.doc

8. Математическое моделирование [Текст]: http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/Математическое_моделирование