Статья в сборник

Глава 2. …………

Сегодня  любому  квалифицированному  экономисту  просто  необходима  мощная  математическая  база.  Для  них,  одним  из  главных  предметов  в  высшей  математике  является  линейная  алгебра,  а  именно  матричная  алгебра.  Это  объясняется  тем,  что  экономико-математические  модели,  которые  часто  применяются  в  исследовательских  работах,  не  редко  нужны  для  разъяснения  различных  взаимосвязанных  экономических  структур  и  их  динамик  во  временных  промежутках.  Матричное  отображение  —  один  из  наиболее  компактных  и  удобных  способов  для  решения  многих  экономических  задач.

2.1 Матрицы и действия над ними

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов. Числа этой таблицы называются элементами матрицы и обозначаются a_ij, где i - номер строки, а j - номер столбца, i, j- называются индексами элемента. Матрицу, имеющую m строк и n столбцов, называют матрицей размеров m*n.

Матрица может быть обозначена одним из следующих способов:

(2.1)

Матрица может состоять из одной строки, тогда она называется матрицей – строкой и имеет размер Пример такой матрицы:

.

Если матрица состоит из одного столбца, то она называется матрица – столбец и имеет размер Пример матрицы столбца размером

Квадратной называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( ). Число, равное числу строк или числу столбцов квадратной матрицы, называется ее порядком. Например, квадратная матрица второго порядка имеет вид:

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, образованная элементами т.е. элементами с равными индексами и Вторая диагональ называется побочной, на ней расположены элементы

Диагональной матрицей называется такая квадратная матрица, которая имеет отличные от нуля элементы только на главной диагонали. Пример диагональной матрицы порядка 4:

Единичной называется диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны единицы. Обычно ее обозначают буквой Е. Пример единичной матрицы порядка 2:

Треугольной называется такая квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от ее главной диагонали, равны нулю. Пример треугольной матрицы порядка 3:

Матрица М^Т называется транспонированной по отношению к матрице М, если строки матрицы М^Т являются столбцами матрицы М, а столбцы матрицы М^Т являются строками матрицы М. Таким образом, если задана матрица

то т.е. первый столбец матрицы М является первой строкой матрицы М^Т, второй столбец матрицы М – второй строкой матрицы М^Т и третий столбец матрицы М является третьей строкой матрицы М^Т.

1. Действия над матрицами

Сложение и вычитание матриц определены только для матриц одного размера.

Суммой матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е. .

Например, требуется найти сумму матриц А и В, если:

.

Сложение невозможно, т.к. для матриц разных размеров оно не определено.

Например, требуется найти сумму матриц С и D, если

Тогда

Разностью матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В, т.е. .

Например, требуется найти разность матриц С и D из предыдущего примера:

Произведением матрицы А на число k называется матрица В, элементы которой вычисляются как произведение элементов матрицы А на число k, т.е.

Например: требуется найти матрицу S=4C, если известно, что

Умножение определено только для согласованных матриц. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , элементы которой находятся по формуле:

(2.2)

т.е. в нахождении элемента матрицы С участвуют элементы -ой строки матрицы А и -го столбца матрицы В.

Например, заданы матрицы А и В. Требуется найти матрицу С=АВ.

Прежде всего необходимо определить является ли матрица А согласованной с матрицей В: число столбцов матрицы А равно 2, число строк матрицы В равно 2, следовательно матрица А согласована с матрицей В и умножение определено.

Определим размер матрицы С: число строк матрицы С определяется числом строк первого сомножителя, т.е.числом строк матрицы А и равно 3, число столбцов матрицы С определяется числом столбцов второго сомножителя, т.е. числом столбцов матрицы В и равно 3. Таким образом, матрица С имеет размер 3 3 и требуется найти 9 ее элементов.

Получили матрицу С:

1. Определители квадратных матриц

Определителем матрицы назовем число а₁₁. Например, дана матрица

Определителем матрицы второго порядка , назовем число, которое находится по формуле:

(2.3)

Например, , тогда

Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое по формуле:

(2.4)

Выражение (2.4) легко запоминается при использовании мнемонических приемов, например, правила диагоналей (рис. 1):

а) матрица, определитель которой находится, выписывается два раза без всяких изменений (на рис.1 две одинаковые матрицы разделены тонкой пунктирной линией),

б) мысленно проводится линия по элементам главной диагонали первой матрицы (на рис.1 – сплошная линия 1) и находится произведение элементов, соединенных этой прямой:

в) диагональ смещается на одну позицию вправо (на рис.1 – сплошная линия 2) и выписывается произведение всех элементов, соединенных прямой 2:

г) диагональ смещается еще на одну позицию вправо (на рис.1.- сплошная линия 3) и выписывается произведение всех элементов, соединенных прямой 3:

д) находят сумму сомножителей, найденных в пунктах б), в) и г):

е) мысленно проводится линия по элементам побочной диагонали первой матрицы (на рис.1 – пунктирная линия 4) и находится произведение элементов, соединенных этой прямой:

ж) диагональ смещается на одну позицию вправо (на рис. 1 – пунктирная линия 5) и выписывается произведение всех элементов, соединенных прямой 5:

з) диагональ смещается еще на одну позицию вправо (на рис.1- пунктирная линия 6) и выписывается произведение всех элементов, соединенных прямой 6:

и) находят сумму сомножителей, найденных в пунктах е), ж) и з):

к) находят разность сумм, найденных в пунктах д) и и):

Рис. 1. Правило диагоналей

Сопоставление полученного выражения с формулой (2.4), приведенной выше, показывает их полное совпадение.

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных уравнений с неизвестными называется система вида

(2.5)

Числа - называются коэффициентами, первый индекс - номер уравнения ( , второй индекс - номер неизвестной, к которой относится данный коэффициент . В общем случае число уравнений и число неизвестных, входящих в систему, может быть различным, т.е. . Числа называются свободными членами .

Систему (2.5) можно записать в алгебраической форме:

, .

Также возможна запись системы (2.5) в матричной форме:

где - матрица, составленная из коэффициентов , и - матрицы – столбцы, составленные соответственно из неизвестных системы и свободных членов:

(2.6)

Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел, подстановка которых обращает в тождество каждое из уравнений системы.

Совместной называется система, имеющая хотя бы одно решение; система не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Например, система совместна и имеет решение Система не имеет ни одного решения и является несовместной (т.к. ни при каких значениях и два этих уравнения одновременно не могут обращаться в тождества).

Определенной называется совместная система, имеющая единственное решение; неопределенной называется система, имеющая более одного решения. Например, приведенная выше совместная система имеет только одно решение и является определенной. Система имеет бесконечное множество решений и является неопределенной (например, пара чисел удовлетворяет данной системе и обращает ее в тождество; пара чисел также удовлетворяет данной системе и обращает ее в тождество; таких пар можно найти бесконечное множество).

Решить систему значит выяснить:

1. является ли заданная система совместной или нет;

2. если система является совместной, то найти все ее решения.

Решение системы линейных

алгебраических уравнений методом Крамера

Пусть число неизвестных системы равно количеству уравнений, т.е. , тогда матрица квадратная, размера . Если матрица невырожденная, то система имеет единственной решение, которое находят по следующим формулам (формулам Крамера):

, , , (2.6)

где равно дроби, знаменатель которой равен определителю матрицы , а числитель – определителю матрицы, которая получается из матрицы , если в ней заменить -ый столбец на столбец свободных членов.

Например, требуется решить систему:

1. Составляем матрицу

Находим ее определитель.

2. Чтобы найти заменяем в матрице первый столбец на столбец свободных членов, получаем матрицу:

.

Находим ее определитель:

3. Чтобы найти заменяем в матрице второй столбец на столбец свободных членов, получаем матрицу:

.

Находим ее определитель:

4. Чтобы найти заменяем в матрице третий столбец на столбец свободных членов, получаем матрицу:

.

Находим ее определитель:

Решение системы линейных

алгебраических уравнений матричным методом

Выше было сказано, что систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричной форме, т.е. в виде

(2.7)

тогда где - матрица, обратная к матрице .

Рассмотрим подробнее понятие обратной матрицы. Пусть - квадратная матрица размера .

Обратной к матрице называется матрица , такая, что

(2.8)

Каждая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу. Находится обратная матрица по формуле:

, (2.9)

где транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Правило нахождения обратной матрицы:

1. Вычисляется определитель матрицы . Если он не равен нулю, то обратная матрица к матрице существует.

2. Каждый элемент матрицы заменяется его алгебраическим дополнением, т.е. составляется матрица .

(Алгебраическим дополнением элемента называется число, вычисляемое по формуле: , где минор элемента это определитель матрицы, которая получается при вычеркивании из исходной матрицы -ой строки и -го столбца).

1. Матрица транспонируется, т.е. записывается матрица

2. Вычисляется матрица , для этого каждый элемент матрицы делится на

Например, требуется найти матрицу , обратную к матрице , если

1. Находим определитель заданной матрицы

следовательно, обратная матрица существует.

1. Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы :

Составляем матрицу алгебраических дополнений:

.

3. Транспонируем полученную матрицу

.

4.Записываем матрицу обратную к матрице , для этого каждый элемент матрицы полученной в п.3 делим на определитель матрицы :

.

После того, как найдена матрица обратная к матрице , для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений матричным методом, найденную обратную матрицу необходимо умножить на матрицу свободных членов .

Например, требуется найти решение следующей системы матричным методом:

.

1. Составляем матрицу

1. Находим матрицу обратную к матрице (см. предыдущий пример):

.

1. Составляем матрицу свободных членов :

1. Находим решение системы:

Ответ:

Решение системы линейных

алгебраических уравнений методом Гаусса

(метод последовательного исключения неизвестных)

Пусть в общем случае (т.е. число уравнений может не совпадать с числом неизвестных в системе).

В основе метода лежит использование элементарных преобразований системы. К элементарным преобразованиям систем относят следующие:

1. Перестановка местами уравнений системы.

2. Умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к любому уравнению системы любого другого уравнения этой системы, умноженного на произвольное число.

Если к системе уравнений применить элементарные преобразования, то в результате будет получена так называемая равносильная система, т.е. система, решение которой будет совпадать с решением исходной системы, к которой были применены элементарные преобразования.

Цель элементарных преобразований – привести исходную систему к более простому виду:

а) первое уравнение должно содержать все неизвестные,

б) второе уравнение не должно содержать ,

в) третье уравнение не должно содержать ,

г) четвертое уравнение не должно содержать и т.д.

Элементарные преобразования применяют не к самим уравнениям, а лишь к коэффициентам при неизвестных и к свободным членам. Для этого записывают матрицу коэффициентов и дополняют ее справа еще одним столбцом – столбцом свободных членов. Полученная таким образом матрица называется расширенной и обозначается . Добавленный столбец принято отделять от матрицы вертикальной чертой. Элементарные преобразования совершают над строками матрицы .

Пусть требуется решить систему уравнений:

.

Составим матрицу : .

В первой строке первый элемент равен единице, поэтому строку оставляем без изменений. Далее необходимо исключить из второго уравнения системы неизвестное , т.е. добиться, чтобы элемент матрицы стал равен нулю. Для этого умножим элементы первой строки на , сложим с элементами второй строки и запишем полученный результат на место второй строки. Исключим неизвестное и из третьего уравнения системы, т.е. добьемся, чтобы элемент матрицы стал равен нулю, для этого умножим элементы первой строки на , сложим с элементами третьей строки и запишем полученный результат на место третьей строки.

Проделаем указанные преобразования (все они согласно п. 3 являются элементарными):

Умножим вторую строку на Получим

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-5):

Получаем:

Перейдем от матрицы снова к системе уравнений:   

Из последнего уравнения системы находим х₃=1, подставляя это значение во второе уравнение, находим, что х₂ = -2.   Подставляя найденные значения переменных в первое уравнение, получим: х₁ = 3.

  Пусть требуется решить систему уравнений:

. Составим матрицу :

. Для удобства вычислений разделим первую строку матрицы на (это делать необязательно, но расчеты проще, если элемент матрицы ). Это преобразование является элементарным согласно п. 2., получим:

. Далее необходимо исключить из второго уравнения системы неизвестное , т.е. добиться, чтобы элемент матрицы стал равен нулю. Для этого умножим элементы первой строки на , сложим с элементами второй строки и запишем полученный результат на место второй строки. Исключим неизвестное и из третьего уравнения системы, т.е. добьемся, чтобы элемент матрицы стал равен нулю, для этого умножим элементы первой строки на , сложим с элементами третьей строки и запишем полученный результат на место третьей строки.

Проделаем указанные преобразования (все они согласно п. 3 являются элементарными):

Исключим неизвестное из третьего уравнения, т.е. применяя элементарные преобразования, добьемся того, чтобы элемент стал равен нулю. Для этого элементы третьей строки матрицы сложим с элементами второй строки и запишем полученную сумму на место третьей строки. Согласно п. 3 данное преобразование является элементарным.

Получаем:

Третья нулевая строка может быть отброшена, тогда система уравнений равносильная исходной, согласно матрице , имеет вид:

Выражаем из второго уравнения , получаем:

Выражаем из первого уравнения неизвестное , получаем:

Неизвестное может принимать произвольные значения, это неизвестное называется свободным. Значения неизвестных и зависят от того, какое значение принимает , эти неизвестные называются базисными.

Например, пусть тогда , а . Подставив полученные значения неизвестных в исходную систему, можно убедиться, что данные полученные значения неизвестных обращают уравнения исходной системы в тождества, и, следовательно, являются решениями данной системы.

Но значение неизвестной выбрано произвольно. Что же будет, если выбрать другое значение ?

Например, пусть тогда , а . Подставив вновь полученные значения неизвестных в исходную систему, вновь убеждаемся, что данные значения неизвестных обращают уравнения исходной системы в тождества, и, следовательно, также являются решениями данной системы.

В таком случае говорят, что система уравнений имеет бесконечное множество решений, т.к. любое выбранное значение неизвестного приводит к новому набору значений неизвестных и , который является решением данной системы.

Рассмотрим решение следующей системы уравнений:

. Составим матрицу :

. Для удобства вычислений опять разделим первую строку матрицы на (выше уже говорилось, что делать это необязательно, но расчеты проще, если элемент матрицы ). Это преобразование является элементарным согласно п. 2, в результате получим:

. Далее необходимо исключить из второго уравнения системы неизвестное , т.е. добиться, чтобы элемент матрицы стал равен нулю. Для этого умножим элементы первой строки на , сложим с элементами второй строки и запишем полученный результат на место второй строки. Исключим неизвестное и из третьего уравнения системы, т.е. добьемся, чтобы элемент матрицы стал равен нулю, для этого умножим элементы первой строки на , сложим с элементами третьей строки и запишем полученный результат на место третьей строки.

Проделаем указанные преобразования (все они согласно п. 3 являются элементарными):

Исключим неизвестное из третьего уравнения, т.е. применяя элементарные преобразования, добьемся того, чтобы элемент стал равен нулю. Для этого элементы третьей строки матрицы сложим с элементами второй строки и запишем полученную сумму на место третьей строки. Согласно п. 3 данное преобразование является элементарным.

Получаем:

Запишем систему уравнений, которая является равносильной исходной, и согласно матрице , имеет вид:

Третье уравнение системы не имеет смысла, следовательно, а данная система уравнений несовместна, т.е. не имеет решения.

Метод Гаусса применим для решения любой системы линейных уравнений (в общем случае , т.е. число уравнений может не совпадать с числом неизвестных в системе) и позволяет:

1. Выяснить совместна или несовместна данная система уравнений.

2. Найти единственное решение или бесконечное множество решений, если система совместна.

2.2. Контрольные вопросы для самоподготовки

1. Что называется матрицей? Что такое вектор-строка, вектор-столбец, квадратная матрица, нулевая матрица, единичная матрица?

2. Основные операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение на число.

3. Понятие транспонированной матрицы.

4. Умножения матриц, основные свойства.

5. Определитель квадратной матрицы, способы его вычисления.

6. Понятие обратной матрицы, алгоритм ее нахождения.

7. Элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы.

8. Понятие системы линейных уравнений. Определение решения системы линейных уравнений. Определенная, неопределенная, несовместная система линейных уравнений.

9. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

10. Решение системы линейных уравнений матричным методом.

11. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

2.3. Примеры решения экономических задач матричным методом

Понятие матрицы часто используется в практической деятельности. Например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и т.д. удобно записать в виде матриц.

Решение экономических задач, осуществляемое матричным методом, позволило решать основные задачи экономического профиля на любом из предприятий.

Пусть предприятие выпускает продукцию трех видов (Р₁, Р₂, Р₃), используя сырье двух типов (S₁, S₂), а нормы расхода , С =(50 60 150).

Стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) представлена матрицей-столбцом: .

Решая данную задачу аналитически, получаем: затраты 1-го сырья составляют S₁ = 7*50+4*60+8*150 = 1790 (ед.); затраты 20го сырья составляют S₂ = 5*50+3*60+1*150 = 580 (ед.); поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение: S = С*А, где S – затраты сырья, С – заказ, А – матрица производства.

.

Общая стоимость сырья Q =1790*50 + 580*45 = 115600 (ден.ед.) может быть записана в матричном виде: Q =S*В (СА)В= (115600), где Q – общая стоимость, В – стоимость единицы сырья, S – затраты сырья.

Пример 1.

В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица задает объемы продукции на каждом заводе в первом квартале, а матрица - соответственно во втором; (а_ij, b_ij) – объемы продукции j-го типа на i-м заводе в 1-м и 2-м кварталах соответственно:

; .

Найти:

а) Объемы продукции;

б) прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;

в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если λ – курс доллара по отношению к рублю.

Решение:

а) Объемы продукции за полугодие определяются суммой матриц А и В, т.е. , где с_ij = a_ij+b_ij – объем продукции j-го типа, произведенный за полугодие на i-м заводом.

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц:

.

Отрицательные элементы d_ij показывают, что на данном заводе i объем производства j-го продукта уменьшился; положительные d_ij – увеличился; нулевые d_ij – не изменился.

в) Произведение λС = λ(А+В) дает выражение стоимости объемов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию:

Пример 2.

Предприятие производит n типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы i –го типа продукции в j-м регионе задана матрицей , где k – число регионов, в которых реализуется продукция.

Найти С – матрицу выручки по регионам.

Пусть А_1˟3= (100, 2000, 100); .

Решение.

Выручка определяется матрицей , причем

- это выручка предприятия в j- м регионе:

С=(100, 2000, 100) = (600, 1300, 70, 1300).

Пример 3.

Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затраты ресурсов i-го товара на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат . Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа х_ij, записанное матрицей .

Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени. Дано:

, .

Решение.

Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц А и Х, т.е. S=АХ.

При подстановке данных задачи, получим

S= ,

т.е, за данный период времени будет израсходовано 930 единиц ресурса 1-го вида, 960 единиц ресурса 2-го вида, 450 единиц ресурса 3-го вида, 630 единиц ресурса 4-го вида.

Пример 4.

Пусть в условии предыдущей задачи указана стоимость каждого вида ресурсов в расчете на единицу. Она задается матрицей Р_1˟m. Определить полную стоимость всех затраченных за данный отрезок времени ресурсов, если Р= (10, 20, 10, 10).

Решение.

Стоимость всех затраченных ресурсов С определяется как произведение матриц Р и S, т.е. С = РS или С = РАХ.

В данном случае С = (10, 20, 10, 10) = 3990 (ден. ед.).

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

(балансовый анализ)

Цель балансового анализа — ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой — как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается п отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения: х_i — общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1, 2,..., п ); х_ij — объем продукции i -й отрасли, потребляемой j -й отраслью в процессе производства (j = 1, 2,..., п); у_i — объем конечного продукта i -й отрасли для непроизводственного потребления. Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой п отраслями, и конечного продукта, то

(i=1, 2, …, n). (2.10)

Это уравнения называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в данное уравнение, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

, (i, j = 1, 2, …, n). (2.11)

показывающие затраты продукции i -й отрасли на производство единицы продукции j -й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты а_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е. х_ij = a_ijх_j (i,j = 1, 2 , п), вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса примут вид:

(i, j = 1, 2, …, n). (2.12)

Обозначим X = , , ,

где X — вектор валового выпуска, Y — вектор конечного продукта, А — матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Тогда систему можно записать в матричном виде:

X = AX + Y. (2.13)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (2.13) в виде:

(Е-А )Х = Y. (2.14)

Если матрица (Е - А) невырожденная, т.е. |Е -А |не равно 0, тогда X = (E-A)^-1Y = SY.

Матрица S=(E-A)^-1 называется матрицей полных затрат. Каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли у_j =1 (j = 1, 2, …, п). В соответствии с экономическим смыслом задачи значения х_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях у_i 0 и а_ij 0, где i,j = 1, 2,..., п . Матрица А0 называется продуктивной, если для любого вектора У 0 существует решение X 0 уравнения (Е -А )Х = Y). В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Пример

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
		Энергетика	Машино строение
Производ-ство	Энергетика	7	21	72	100
	Машино- строение	12	15	123	150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохранится на прежнем уровне.

Решение.

Имеем х₁ =100, х₂ = 150, х₁₁ = 7, х₁₂ =21, х₂₁ =12, х₂₂ =15; y₁ = 72, у₂ = 123.

По формуле находим коэффициенты прямых затрат:

а₁₁ =0,07, а₁₂ =0,14, а₂₁ =0,12, а₂₂ =0,10 , т.е матрица прямых затрат А = имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

max {0,07 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max {0,19; 0,24} = 0,24

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле

Х = (Е - А)^-1 У.

Найдем матрицу полных затрат S = (Е- А)^-1:

Е – А= . Так как |Е-А| = 0,8202 , по формуле

S = (E-A)^-1 = .

По условию вектор конечного продукта Y= . Тогда получаем вектор валового выпуска:

, т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной — до 160,5 уел. ед.

Пример

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на одну пару, уел. ед.			Расход сырья на 1 день, уел. ед.
	Сапоги	Кроссовки	Ботинки
S1	5	3	4	2700
S2	2	1	1	800
S3	3	2	2	1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение.

Пусть ежедневно фабрика выпускает х₁ пар сапог, х₂ пар кроссовок и х₃ пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

Решая систему любым способом, находим (200; 300; 200), т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 — кроссовок и 200 пар ботинок.

Пример

С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй — 150 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство.

Завод	Затраты на перевозку в автохозяйство, ден. ед.
	1	2
1	15	20
2	8	25

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед. Найти

оптимальный план перевозок машин.

Решение.

Пусть Х_ij — количество машин, поставляемых с i-го завода j-му автохозяйству (i,j = 1,2). Получаем систему

Решаем систему, например, методом Гаусса. Найдем х₁₁ = 50, х₁₂ =

= 300, х₂₁ =150, х₂₂ =0.

2.4. Методические рекомендации и задания для самостоятельной работы студентов

1. Поступление товаров на первый склад описывается матрицей , а поступление товаров на второй склад – матрицей .

Найти суммарный завоз товаров на склады, годовой завоз на склады, если по договору производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров.

2.В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
		1	2
Производ-ство	1	100	160	240	500
	2	275	40	85	400

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли,

если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в 2 раза, а второй отрасли – на 20%.

3.Три завода выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков А₁, А₂ и А₃; б) найти матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц В1 и В2 и проанализировать результаты:

4. Предприятие производит n типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы i –го типа продукции в j-м регионе задана матрицей , где k – число регионов, в которых реализуется продукция.

Найти С – матрицу выручки по регионам.

Пусть А_1˟3= (100, 2000, 100); .

Определить какой из трех регионов наиболее выгоден для реализации товара.

5. Предприятие производит мебель трех видов и продает ее в четырех регионах. Матрица задает цену реализации единицы мебели i го типа в j-м регионе. Определить выручку предприятия в каждом регионе, если реализация мебели за месяц (по видам) задана матрицей .

6. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затраты ресурсов i-го товара на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат . Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа х_ij, записанное матрицей .

Дано:

, .

Определить: а) полные затраты ресурсов 3-х видов на производство месячной продукции, если заданы нормы затрат матрицей и объем выпуска каждого из двух типов продукции ; б) стоимость всех затраченных ресурсов, если задана стоимость единиц каждого ресурса Р = (50, 10, 20).

7. Продавец может закупить от 1 до 5 билетов на спектакль по цене 100 руб. и продать перед спектаклем по 200 руб. каждый. Составить матрицу выручки продавца в зависимости от количества им купленных билетов (строка матрицы) и от результатов продажи (столбец матрицы).

8. В ремонтную мастерскую поступают телефонные аппараты, 70% которых требуют малого ремонта, 20% - среднего ремонта, 10; - сложного ремонта. Статистически установлено, что 10% аппаратов, прошедших малый ремонт, через год потребуют малого ремонта, 60% - среднего, 30% - сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших средний ремонт, 20% требуют через год малого ремонта, 50% - среднего, 30% - сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших сложный ремонт, через год 60% требуют малого ремонта, 40% - среднего. Найти доли из отремонтированных в начале года аппаратов, которые будут требовать ремонта того или иного вида: через 1 год, 2 года, 3 года.

9. Автотранспортное предприятие закупило автобусы, среди которых 20% требуют предварительной наладки, 10% нуждаются в ремонте и 70% готовы к эксплуатации. Статистически установлено, что через год работы среди тех автобусов, которые прошли предварительную наладку, 30% вновь нуждаются в ней, 50% нуждаются в ремонте и 20% могут просто продолжать работу. Среди тех автобусов, которые прошли первоначальный ремонт, 40% нуждаются в наладке, 20% нуждаются в ремонте, 40% готовы к работе. Среди тех автобусов, которые сразу эксплуатировались, 30% нуждаются в наладке, 50% нуждаются в ремонте, 20% могут продолжать работу. Найти долю автобусов, которые через 1 год и через 2 года будут: а) нуждаться в наладке, б) требовать ремонта; в) готовы к эксплуатации без наладки и ремонта.

10. Два различных по качеству вида растительного масла продаются в трех магазинах. Матрица А – объемы продаж этих продуктов в магазинах в 1-м квартале, матрица В – во 20ом квартале (в тыс. руб.). Определить: а) объем продаж за два квартала; б) прирост продаж во 2-м квартале по сравнению с первым.

, .

11. Предприятие производит три типа продукции, используя два вида ресурсов. Норма затрат ресурсов i-го вида на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат А, выпуск продукции за квартал – матрицей Х, стоимость единицы каждого вида ресурсов задана матрицей Р. Найти: а) матрицу S полных затрат ресурсов каждого типа, б) полную стоимость всех затраченных ресурсов.

, , Р = (5, 2).

12. Завод производит швейные машины. Каждая машина может находиться водном из двух состояний: 1) работает хорошо, 2) требует регулировки. В момент изготовления 80% машин работают хорошо, 20% требуют регулировки. Статистические исследования показали, что из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 70% будут работать хорошо, а 30% потребуют регулировки. Среди тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 60% будут работать хорошо, а 40% потребуют регулировки. Каковы доли машин, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через месяц после их изготовления?

13. Предприятие выпускает три вида продукции, используя два вида сырья, нормы расходов сырья на единицу продукции заданы матрицей . Определить денежные расходы предприятия на осуществление выпуска товаров, задаваемого матрицей , если стоимость единицы каждого вида сырья выражается матрицей Р =(2; 3).

14. В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. ден.ед.

Отрасль		Потребление		Конечный продукт
		Промышлен- ность	Сельское хозяйство
Производ-ство	Промышлен- ность	0,4	0,25	300
	Сельское хозяйство	0,5	0,4	200

Найти: 1. плановые объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей; 2. необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на k %, а промышленности на l %.

15. Имеются три банка, каждый из которых начисляет вкладчику определенный годовой процент (свой для каждого банка). В начале года 1/3 вклада размером 6000 ден.ед. вложили в банк 1, 1 /2 вклада — в банк 2 и оставшуюся часть — в банк 3 и к концу года сумма этих вкладов возросла до 7250 ден. ед. Если бы первоначально 1/6 вклада положили в банк 1, 2/3 — в банк 2 и 1 /6 вклада — в банк 3, то к концу года сумма вкладов составила бы 7200 ден. ед.; если бы 1/2 вклада положили в банк 1, 1/6 — в банк 2 и 1/3 вклада — в банк 3, то сумма вкладов в конце года составила бы вновь 7250 ден. ед. Какой процент выплачивает каждый банк?

16. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчётный период, усл. ден. ед.

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
		1	2
Производ-ство	1	50	70	200	320
	2	120	30	100	250

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли сохранится на прежнем уровне, второй увеличится на 50%.

2.5. Рекомендуемая литература для самоподготовки

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. и др. Высшая математика для экономистов: Учебник/под ред. Н.Ш.Кремера. - 2-е изд., перераб. И доп. - М.: ЮНИТИ. 2012. - 471с.

2. Математика для экономистов и менеджеров [электронный ресурс]: Учебник / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Кнорус, 2015. ЭБС: book.ru

3. Математика для экономистов и менеджеров [электронный ресурс]: Практикум: учебное пособие / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, М.Н. Фридман / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Кнорус, 2015. ЭБС: book.ru