Степень с натуральным показателем

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова»

(ФГБОУ ВО «ХГУ им. Н.Ф. Катанова»)

Институт естественных наук и математики

Кафедра математики, физики и информационных технологий

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

профили Математика, Физика

Степень с натуральным показателем

Выполнила:

Шулбаева Д.В.

Группа МФ – 41

Курс 4

Форма обучения очная

Абакан, 2023

1. Введение 2

2. Что такое степень с натуральным показателем 3

3. Таблица основных степеней 4

4. Свойства степени с натуральным показателем 5

5. Степень с нулевым показателем 10

6. Заключение 11

1. Введение

В математике степень с натуральным показателем является одной из основных операций. Она позволяет возводить число в некоторую степень, которая определяется натуральным числом. В данном плане мы рассмотрим определение степени с натуральным показателем, а также изучим основные свойства этой операции. Также мы рассмотрим умножение и деление степени с натуральным показателем на число, возведение степени в степень, а также случаи, когда показатель равен нулю или единице. Давайте начнем изучение этой важной темы!

1. Что такое степень с натуральным показателем

Определение. Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен  

n множителей

Степенью числа a с показателем, равным 1, является само это число:

Основанием называется число, которое возводится в степень. Показателем степени называется количество раз, которое основание умножается само на себя.

Одна из особенностей математического языка, которым мы с вами должны научиться пользоваться, состоит в стремлении применять как можно более короткие записи. Математик не будет писать а + а + а + а + а, он напишет 5а; не будет писать а + а + а + + а + а + а + а + а + а + а (здесь 10 слагаемых), а напишет 10а; не будет писать   а напишет nа.

Точно так же математик не будет писать 2 • 2 • 2 • 2 • 2, а воспользуется специально придуманной короткой записью 2⁵. Аналогично вместо произведения семи одинаковых множителей 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 он запишет 3⁷. Конечно, в случае необходимости он будет двигаться в обратном направлении, например, заменит короткую запись 2е более длинной 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2.

Если появляется новое обозначение, то возникают и новые термины. И всё это (и обозначения, и термины) охватывается новым определением. Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина, нового слова, нового обозначения. Просто так определения не придумываются, они появляются только тогда, когда в этом возникает необходимость.

1. Таблица основных степеней

Вы знаете таблицу умножения, в неё включены произведения любых двух однозначных чисел (3 • 5, 4 • 7 и т. д.), этой таблицей вы постоянно пользуетесь при вычислениях. На практике полезна и таблица степеней простых однозначных чисел (в пределах тысячи). Составим её.

С помощью этой таблицы можно находить и степени составных чисел (поэтому такие степени в таблицу обычно не включают). Например:

9³ = 9 • 9 • 9 = (3 • 3)(3 • 3)(3 • 3) = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 3⁶ = 729.

1. Свойства степени с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1

Произведение степеней

Запомните! При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

,

где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Примеры.

1. Упростить выражение.

1. Представить в виде степени.

1. Представить в виде степени.

Важно! Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.

Свойство № 2

Частное степеней

Запомните! При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

,

где «a» — любое число, не равное нулю, а «m», «n» — любые натуральные числа такие, что « ».

Примеры.

1. Записать частное в виде степени

1. Вычислить.

1. Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.

Ответ:

Важно! Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство № 3

Возведение степени в степень

Запомните! При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

,

где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Пример.

Свойствo № 4

Степень произведения

Запомните! При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

,

где «a», «b» — любые рациональные числа; «n» — любое натуральное число.

Пример 1.

Пример 2.

Важно! Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Пример. Вычислить.

Пример. Вычислить.

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например,

Свойство 5

Степень частного (дроби)

Запомните! Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

,

где «a», «b» — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

Пример. Представить выражение в виде частного степеней.

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби.

5. Степень с нулевым показателем

Введём понятие степени с нулевым показателем, т. е. выясним, какой смысл придаётся в математике символу . А ведь этот символ «напрашивается». Смотрите:

,

Почему бы не написать

До сих пор всё было хорошо: — это значит число а умножить само на себя 3 раза, — это значит число а умножить само на себя 10 раз, — это просто а. А что такое ? Ведь нельзя же, в самом деле, умножить число а само на себя 0 раз!

Хотелось бы, чтобы для выполнялись привычные правила, например, чтобы при вычислении показатели складывались:

Но .

Что же получается? Получается, что . Значит,

(при этом нужно ввести естественное ограничение: а ≠ 0). Проведённое рассуждение как- то мотивирует следующее определение.

Определение. Если а ≠ 0, то = 1.

Например, ; ; и т. д. Однако учтите, что символ считается в математике не имеющим смысла.

1. Заключение

Степень с натуральным показателем – это математическая операция, которая позволяет возвести число в определенную степень. Мы рассмотрели основные свойства степени с натуральным показателем, такие как умножение и деление степени на число, возведение степени в степень, а также степень с натуральным показателем нуля и единицы. Эти свойства помогут нам упростить выражения и решать различные задачи в математике.

Контрольные вопросы

1. Что называют степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1?

2. Как читают запись: , , ?

3. Что называют степенью числа a с показателем 1?

4. Чему равно значение выражения при любом натуральном значении n?