Стереометрия: базовый минимум по аксиоматике и определениям

Стереометрия

• Базовые понятия: аксиомы, необходимые теоремы и определения

Автор: Акулькина Аделя Рустемовна

Стереометрия

Планиметрия

• Базируется на пространстве (3D)
• Точка имеет три координаты (x, y, z) - обозначается заглавной латинской буквой (A, B, C, …)
• Добавляется объект плоскости (их может быть огромное множество)
• Плоскости обозначают греческими буквами: α, β, γ, … (альфа, бета, гамма и т.д.)

• Базируется на плоскости (2D)
• Точка имеет две координаты (x, y)
• Прямые и точки лежат в одной и той же плоскости (она единственная)
• Прямые обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c, …)

АКСИОМЫ

Как задать плоскость?

• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость

• Если проще : плоскость в пространстве задаётся тремя точками , не лежащими на одной прямой
• Плоскость однозначно задаётся треугольником

• Через три точки, лежащие на одной прямой , можно задать бесконечное множество плоскостей

Принадлежность прямой Плоскости

• Если две точки прямой принадлежат плоскости - то вся прямая лежит в плоскости
• То есть, все точки прямой также будут лежать в этой плоскости

О пересечении плоскостей

• Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку

• Другими словами: плоскости пересекаются по прямой

Следствия аксиом

Способы задания плоскости

• По трём точкам (прямо из аксиомы)

• По прямой и точке, не лежащей на ней

• По двум параллельным прямым

• По двум пересекающимся прямым

Как могут располагаться прямые относительно друг друга?

I. Лежать в одной плоскости

II. Не лежать в одной плоскости

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ

Параллельные

Пересекаются

Как могут располагаться прямая и плоскость?

I. Имеют общие точки

II. Не имеют

Параллельны

Прямая лежит в плоскости

Прямая пересекает плоскость

Как могут располагаться две плоскости?

I. Пересекаются

II. Не пересекаются

(Всегда по прямой)

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны

Двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны

Свойства параллельных плоскостей

I. Если параллельные плоскости пересекаются третьей - прямые пересечения параллельны

II. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны

*для доказательства будет полезно вспомнить свойства параллелограмма

Перпендикулярность

Перпендикулярность прямой и плоскости

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости
• Если прямая перпендикулярная двум пересекающимся прямым на плоскости - она перпендикулярна всей плоскости

Наклонная и её проекция

Теорема о трех перпендикулярах

• Если прямая на плоскости перпендикулярная проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной

Двугранный угол

Двугранный угол

• Это фигура, заключенная между двумя пересекающимися полуплоскостями - гранями
• Линейный угол a