Новый сезон олимпиад для учителей, учеников и дошкольников! Специальные наградные, результаты сразу, комфортное участие.

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 08.04.2024 17:16

Виттих Светлана Валерьевна

учитель информатики и ИКТ, математики

26 лет

222 431

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Ярославль

Специализация

Информатика

Математика

Классному руководителю

Всем учителям

Алгебра

Геометрия

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Стереометрия обзор учебников

Категория: Геометрия

19.10.2023 17:31

Просмотр содержимого документа
«Стереометрия обзор учебников»

Стереометрия общее задание

Аксиомы стереометрии

Формулировки из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]

Аксиома . Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома . Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиома . Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

...Система аксиом стереометрии состоит из аксиом I-IX планиметрии и трех аксиом стереометрии .

Замечание. В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все геометрические фигуры. В стеореометрии много, даже бесконечно много, плоскостей. В связи с этим формулировки некоторых аксиом стереометрии требуют уточнения.

Это относится к аксиомам IV, VII, VIII, IX.

Аксиома IV. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

Аксиома VII. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей , и только один.

Аксиома VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Аксиома IX. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]

В аксиомах стереометрии выражены основные свойства неопределямых понятий: точки, прямой, плоскости и расстояния.

Аксиома 1. Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Аксиома 3. Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Аксиома 4. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

Аксиома 6. Для любых двух точек и имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от до . Расстояние равно нулю в том и только в том случае, если точки и совпадают.

Аксиома 7. Расстояние от точки до точки равно расстоянию от точки до точки : .

Аксиома 8. Для любых трех точек , и расстояние от до не больше суммы расстояний от до и от до : .

Аксиома 9. Для каждой плоскости выполняются известные из планиметрии аксиомы порядка, подвижности плоскости и параллельных прямых.

Под пространством понимается множество всех точек.

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит изх ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии... Сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены , , .

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Полный список, состоящий из 20 аксиом, и некоторые следствия из них приведены в приложении 2 (стр.225).

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]

...Геометрию на плоскости --- планиметрию --- мы считаем известной. Поэтому в стереометрии принимаем как определение: плоскостями называются фигуры, на которых выполняется планиметрия и для которых верны аксиомы стереометрии.

Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

Аксиома 2. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

Аксиома 3. Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Аксиома 4. Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на всех плоскостях, содержащих эти точки.

Аксиома 5. Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства, для которых она является общей границей.

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 10 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик10у]

Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

Аксиома 2. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

Аксиома 3. Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Аксиома 4. Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.

Аксиома 5. Расстояние между любыми двумя точками пространства не зависит от того, на какой плоскости, содержащей эти точки, оно измерено.

И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]

Так же как в планиметрии, некоторые свойства точек, прямых и плоскостей в пространстве принимаются без доказательства и называются аксиомами. Сформулируем следующие аксиомы стереометрии:

1. Через любые две точки пространства проходит единственная прямая.

2. Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

4. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

5. Для прямых и плоскостей в пространстве выполняются аксиомы планиметрии.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]

1. Через любые две точки пространства проходит единственная прямая.

2. Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

4. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

5. Для прямых и плоскостей в пространстве выполняются аксиомы планиметрии.

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич10у]

Пространство --- это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стеореометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Аксиома . В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Аксиома (аксиома плоскости). Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Аксиома (аксиома прямой и плоскости). Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Аксиома (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей есть их общая прямая.

Аксиома (аксиома разбиения пространства плоскостью). Любая плоскость разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскость ; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью .

Аксиома (аксиома расстояния). Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки.

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]

Термина "аксиома" в учебнике нет. Формулируется, что

в пространстве, как и на плоскости, имеются точки и прямые. Как и на плоскости, через две точки в постранстве проходит единственная прямая. Но кроме точек и прямых в пространстве имеются еще и плоскости. В каждой плоскости выполняются все утверждения планиметрии --- геометрии на плоскости.

Далее формулируются два основных свойства трехмерного пространства.

Первое основное свойство. Для любых трех точек пространства, не лежащих на одной прямой, существует единственная содержащая их плоскость.

Второе основное свойство. Любая плоскость делит пространство на две части --- два полупространства.

А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]

... Свойства плоскости, которые принимаются без доказательства, т.е. являются аксиомами:

1) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой порямой принадлежит плоскости.

2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3) Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

В конце учебника аксиоматический метод изложен более подробно в дополнении: "Об аксиомах геометрии".

Сравнения формулировок

А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]

"Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости" --- В рассматриваемых учебниках это аксиома.

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]

"Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости" --- В рассматриваемых учебниках это теорема.

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]

"Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства" --- в рассматриваемых учебниках это аксиома.

Трудности при изучении стереометрии

Переход от планиметрии к изучению стереометрии вызывает у учащихся большие трудности и связаны они с тем, что в этом курсе отсутствуют алгоритмы (практически каждая задача и каждая теорема решаются и доказываются как новые) и с тем, что у школьников неразвиты пространственные представления.

Развитие пространственных представлений у учащихся в курсе стереометрии должно идти прежде всего за счет существенного пополнения запасов пространственных представлений, полученных школьниками в пропедевтическом курсе геометрии и в систематическом курсе планиметрии.

Задачи, которые следует использовать для формирования у школьников пространственных представлений, должны быть двух типов:

а) задания на создание пространственных образов;

б) задания на оперирование пространственными образами.

Необходимо заметить, что такое деление задач условно, ибо в создание образа обязательно входит оперирование уже имеющимися пространственными образами. Создание образа должно осуществляться с опорой на наглядность, а оперирование образом – в условиях отвлечения от наглядности, мысленного изменения его исходного содержания.

Важно подчеркнуть, что при изучении стереометрии учащиеся познают пространство, в котором живут, знакомятся с пространственными образами и формами окружающего мира. Кроме того, в процессе изучения стереометрии учащиеся приобретают необходимые практические умения: изображать, моделировать, измерять. Говоря другими словами, геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга. Воображение даёт непосредственное видение геометрического факта и подсказывает логике его выражение и доказательство, а логика, в свою очередь, придаёт точность воображению и направляет его к созданию картин, обнаруживающих нужные логике связи.

Приступая с учащимися к изучению стереометрии, необходимо помнить, что учащиеся обладают слабыми пространственными представлениями, не умеют в должном виде изображать трехмерный образ на двухмерной плоскости листа или доски, не умеют рассмотреть и тем самым представить себе изображаемый в плоскости чертежа трехмерный геометрический образ. Чтобы преодолеть эти трудности, необходимо на первых уроках широко использовать наглядные материалы.

При изучении стереометрии большое внимание должно быть обращено на формирование у учащихся умения видеть геометрические формы в окружающих телах. Это должны быть как тела привычных форм и соотношений, так и непривычных. Так, например, примерами последних могут служить следующие: ученическая линейка – прямоугольный параллелепипед, монета – цилиндр, цистерна – цилиндр, воронка – два усеченных конуса и т.д.

Учителю необходимо акцентировать внимание учащихся на аналогии изучения планиметрии и стереометрии. При подготовке и проведении уроков стереометрии делается упор на знания, умения учащихся, полученных их курса планиметрии. Первый урок стереометрии играет большую роль в дальнейшем изучении курса стереометрии, так как на нем закладываются первые пространственные представления учащихся, развивается логическое мышление.

Первый урок «Введение в стереометрию» можно провести в форме нестандартного урока, лекции, беседы. На данном уроке учитель может рассказать учащимся о том, что изучает стереометрия, как она возникла, каковы её цели, а также познакомить их с основными понятиями стереометрии. Учитель может привести историческую справку, которая будет раскрывать этапы становления стереометрии как раздела геометрии, показать портреты ученых, математиков, сыгравших большую роль в развитии стереометрии. В этом учителю могут помочь современные средства обучения – компьютер, мультимедиа проектор, интерактивная доска, а также учебно-методическая литература. Сейчас существует большое количество учебных комплексов, помогающих учителю при подготовке и проведении уроков стереометрии. Например, программа «Poly», комплекс «Живая геометрия», ИИП «КМ – Школа», обучающая программа «Стереометрия. Открытая математика» (Физикон), программа «Репетитор по математике» и другие. На первом уроке необходимо в обзорном аспекте познакомить учащихся с основными пространственными фигурами – многогранниками (параллелепипед, призма, пирамида) и телами вращения (конус, цилиндр, шар), которые им предстоит изучить в дальнейшем. Возможную их демонстрацию можно осуществить с помощью заранее разработанных презентаций. Это позволит, с одной стороны, проиллюстрировать на многогранниках свойства параллельности и перпендикулярности, а с другой – постепенно формировать умения учащихся по нахождению геометрических величин, расстояний и углов. Учащимся можно предложить выполнить домашнее задание – изготовление моделей многогранников из разверток и геометрического конструктора. Все это способствует развитию у школьников пространственных представлений, формированию понятия математической модели, раскрытию прикладных возможностей геометрии и т.д. Изготовленные модели будут являться средствами конкретной наглядности, которая ведет к абстрактной наглядности – чертежу. Модели используются учителем для иллюстрации новых понятий, доказательств теорем, решения задач. Учитель отмечает практическую значимость изучения курса стереометрии, использования многогранников и тел вращения в различных областях знаний.

Опорный конспект «Аксиомы стереометрии»

Таблица 1. Аксиомы стереометрии

Аксиома 1

Аксиома 2

Аксиома 3

Аксиома 4

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости

Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

В пространстве существуют плоскости.

В любой плоскости выполняются все аксиомы, а значит, и все теоремы планиметрии.

Таблица 2. Следствия из аксиом стереометрии

Следствие 1

Следствие 2

Следствие 3

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну

Доказательство.

Пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке С. Выберем на прямых а и b любые точки А и В, отличные от С: А ͼ а, В ͼ b. Тогда три точки не принадлежат одной прямой и по аксиоме через них можно провести только одну прямую. Обозначим ее π.

Точки А и С прямой а принадлежат плоскости π, значит плоскость π проходит через прямую а (по аксиоме). Плоскость π проходит через прямую b, так как точки В и С этой прямой принадлежат плоскости π.

Таким образом, плоскость π проходит через прямые а и b, и следовательно, является искомой.

Доказательство Пусть а и b – данные параллельные прямые. Через прямые а и b можно провести плоскость. Обозначим ее α.

Допустим противное. Пусть существует другая плоскость, отличная от α, которая содержит каждую из прямых а и b. Обозначим эту плоскость β. Выберем на прямой а точки В и С, на прямой b – точку А. В силу параллельности прямых а и b точки А, В и С не принадлежат одной прямой.

Каждая из плоскостей α и β содержат обе прямые а и b, значит, каждая из них проходит через точки А, В и С. Но по аксиоме через эти точки можно провести лишь одну плоскость. Следовательно, плоскости α и β совпадают.

Доказательство.

Пусть даны прямая а и не принадлежащая ее точка М.

Выберем на прямой а любые точки В и С. Через точки В и С проходит только одна прямая – прямая а. Так как точка М по условию теоремы не принадлежит прямой а, то точки М, В и С не принадлежат одной прямой.

По аксиоме через точки М, В и С проходит только одна плоскость – плоскость МВС, которую обозначим α. Таким образом, плоскость α проходит через прямую а и точку М и является искомой.