Сумма n-членов геометрической прогрессии

Урок в 9классе.

Тема урока: Сумма n-членов геометрической прогрессии.

Цели урока:повторить основные формулы геометрической прогрессии; изучить формулу суммы n-членов геометрической прогрессии;

Формируемые УУД:

Личностные: умение точно и грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи, быть активным при решении математических задач, выражать положитель­ное отношение к процес­су познания; адекватно оценивать свою учебную деятельность.

Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения; умение самостоятельно планировать и осуществлять свою работу;

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками; контролировать результат своей деятельности

Познавательные: умение работать с математическим текстом, грамотно применять математическую символику, логическое обосновывать математические утверждения, выстраивать логическую цепь рассуждений.

Тип урока: систематизация и обобщение знаний

Оборудование: мультимедийный проектор, ноутбук, раздаточный дидактический материал для учащихся.

Ход урока.

1. Организационный этап.

2.Целеполагание .

Представьте себя в роли банкиров – одни банкиры каждый день в течение месяца начисляют вкладчикам по 100 тыс. рублей, а другие – в первый день – 1 коп., во второй – 2 коп., в третий - 4 коп. и далее каждый день месяца увеличивают сумму в два раза. Вопрос: «Кто останется в выигрыше?»

3.Тема урока

Перед нами геометрическая прогрессия: 1,2,4,8…

б)100тыс*30=3млн Сравните и сделайте выводы.

Легенда об изобретении шахмат.

Все наверно слышали легенду об изобретении шахмат.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был вос­хищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повели­теля. Это был скромно одетый ученый, получавший сред­ства к жизни от своих учеников.
- Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал,- сказал царь. Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание.

Сета удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую - 32...

- Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щед­рости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.
- Прежде чем скажешь о твоем деле,- объявил Шерам,- я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подоб­ные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета.

Если засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику и Антарктидой, то за пять лет можно получить требуемое количество.

О, мудрецы 9-го класса, давайте подсчитаем, какое количество зерна необходимо было отдать за изобретение шахмат?

П еред нами геометрическая прогрессия.1,2,4,8…

Математика-это точная наука, и поэтому данное число выглядит следующим образом:

Восемнадцать квинтильонов четыреста со­рок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать

18. 446. 744. 073. 709. 551. 615=18,5*10¹⁸

4.Практическое применение. Задачи на прогрессию-это не абстрактные формулы. Они берутся из нашей жизни, связаны с ней и помогают решать некоторые практические вопросы.

Задача. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут.

5.Закрепление.

Какие из следующих утверждений верны?

1. Геометрическая прогрессия – это последовательность….

- Отличных от нуля чисел, каждый член, которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число,

- каждый член, которой, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

- каждый член, которой, начиная со второго, равен предыдущему член, деленному на одно и то же число.

2 . Формула n – го члена геометрической прогрессии

3 . Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них геометрическая прогрессия. Найдите ее.

1 .4,9,16,25…

4 . Записано несколько последовательных членов геометрической прогрессии. Найдите член прогрессии обозначенной х

Решим еще одну задачу на использование этих формул.

Удивительно как быстро распространяются слухи. Иной раз не пройдет и 2х часов со времени какого-нибудь происшествия, а новость облетела уже весь город. В небольшой городок в 8 часов утра приехал житель столицы и привез всем интересную новость. Он сообщил эту новость только трем местным жителям, это заняло 15 мин.

Узнав эту новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало тоже 15 мин. И т.д.

Получилась геометрическая прогрессия. Первый член равен 1, знаменатель равен 3. Найдем сумму 10 членов этой прогрессии.

Вычислим по другой формуле: 

Значит, ранее чем в половине одиннадцатого почти 30 тыс. населения узнает об этой новости.

6. Самостоятельная работа на закрепление формул суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

1) Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии -2. -4, -8…

2) Вычислить  , если  =64, q = 1/2

Проверка самостоятельной работы:

1) ,

2) 

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна -40, знаменатель прогрессии равен -3. Найти сумму восьми первых членов прогрессии.

Решение: q=-3,  = -40

   Отсюда 

Тогда 

7.Рефлексия.

Подведение итогов урока, развитие у учащихся навыков самоконтроля.

10.Домашнее задание:

1.Решение заданий из сборника для подготовки к экзамену(№6-вариант1-6).