Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Тема урока: “Сумма первых членов арифметической прогрессии”, 9 класс

Разработала: учитель математики Мусалимова Р.Г

МОУ лицей № 94 Советского района г. Уфа

Урок алгебры в 9 классе.

Тема: «Сумма первых членов арифметической прогрессии»

Цели урока:

Образовательные – совершенствовать навыки нахождения ого члена арифметической и геометрической прогрессии с помощью формул, научить вывести формулу суммы ого члена арифметической прогрессии.

Развивающие – развить познавательный интерес учащихся, научить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью.

Воспитательные – побуждать учащихся к собственным формулировкам, открытию отношений, свойств, раньше чем они узнают конечный результат.

Ход урока.

1. Организационный момент. «Здравствуйте ребята, начинаем урок алгебры. Я желаю вам всем мира и добра!»

2. Проверка домашнего задания. «Какие вопросы есть по домашнему заданию?»

3. Уравнивание опорных знаний:

1. Какой раздел математики начали мы изучать? [Последовательность]

2. Что называется числовой последовательностью?

[каждому натуральному числу от 1 до N поставлено в соответствии число , то говорят, что задана числовая последовательность: ( )]

Класс разбивается на две команды.

2. запишите последовательность в соответствии с условием задачи, состоящей из 6-ти членов.

   [50, 48, 46, 44, 42, 40]

   [1, 2, 4, 8, 16, 32]

3. найдите разность (частное) между последующими и предыдущими членами

   48-50=-2; 46-48=-2; 40-42=-2;

   2:1=2; 4:2=2; 16:8=2;

4. как называется эта последовательность?

   [арифметическая прогрессия] (убывающая)

   [геометрическая прогрессия] (возрастающая)

5. перечислите три способа задания последовательности:

[аналитический, последовательный, рекурентный]

1. кто сможет задать рекуррентную формулу для своей последовательности?

В процессе работы учащиеся следят за ответами товарищей, делают записи в тетради и готовятся ответить на предложенные вопросы, оценивают работу соседа, поменявшись тетрадями, 2 ученика у доски записывают свои решения.

* Сообщение ученика: «Прочитав подряд определения арифметической и геометрической прогрессии, можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение умножением или наоборот. А зная формулу числа арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением и умножение – возведением в степень

“Родство” прогрессий становится еще более заметным, если вспомнить их характеристические свойства:

Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением, а деление на 2 – извлечением корня второй степени.

Из характеристического свойства арифметической прогрессии получится характеристическое свойство геометрической прогрессии.»

Создание проблемной ситуации.

Задача (решить дома): представьте, что вы – ученик на стройке, нужно быстро определить сколько бревен на складе, если они расположены как на рис. 3

* Ребята, прогрессии были известны очень давно. Например: задача из древнего египетского папируса Ахмеса (2000 лет доо нашей эры): «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми, разность между каждым человеком и его соседом равняется меры». Сколько же мер получит каждый человек, как найти долю каждого из них?

Сегодня у нас учебная задача: вывести формулу суммы и первых членов арифметической прогрессии. Попытаемся вначале найти сумму двадцати последовательных натуральных чисел, начиная с единицы:

1+2+3+...+19+20, если все сложить уйдет много времени.

С формулой суммы натуральных чисел, связан один из эпизодов биографии Карла Фредриха Гаусса: «Однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с учениками 3^го классе, учитель велел сложить числа, надеясь, что это займет много времени, едва учитель закончил чтение условия, Гаусс предъявил ответ 5050. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли «Царем математики»».

Запишем все числа в строчку:

Рис. 3

– Посмотрите пожалуйста, вы ничего не заметили?

– Это арифметическая прогрессия, разность которой равна 1.

– Имеется еще одна зависимость, кто заметил? (если не видят, соединяю числа рис.3). Скажите эту зависимость своими словами.

– Сумма кратных членов в арифметической прогрессии равна сумме членов равностоящих от концов последовательности. То есть

1+20=2+19=21,

таких сумм 10.

Итак сумму всех двадцати членов прогрессии обозначим буквой , получим:

в общем виде

Вы догадались, как нашел сумму 100 натуральных членов маленький Гаусс?

Создаем следующую проблему:

– Как изменятся наши рассуждения, если таких чисел 21?

Если сопоставить данную строчку с такой же, но записанной в обратном порядке, то появится еще один способ доказательства:

1 2 3 ... 19 20 21

21 20 19 ... 3 2 1

– Какая закономерность здесь?

1+21=2+20= .. =20+2=21+1=22,

т.е.

Сложим все члены обоих столбцов, получим

В общем случае

Попытаемся смоделировать вывод формулы суммы первых членов арифметической прогрессии.

(÷ – словосочетание арифметической прогрессии)

На что похожа наша запись? На елочку, а члены последовательности – это игрушки, которые нужно сложить потом в коробочку.

Запишем еще одну формулу, воспользовавшись тем, что у нас есть.

Т

Рассмотрим применение данной формулы в древней задаче про египетский папирус.

Задача о египетском папирусе – это арифметическая прогрессия, где нужно найти:

Проверка

Ответ:

Решите задачу: Насколько невыгодно платить налоги в конце года вместо ежемесячных выплат? Ежемесячно платится 30% от прибыли в 100 у.е. или за целый год платится налог в конце года, за каждый месяц просрочки необходимо платить не только налог, но и 0,3 от суммы налога.

Решение:

В случае просрочки за декабрь платится 30 у.е.,

– за ноябрь:

– за октябрь:

– за сентябрь: т.е. мы имеем арифметическую прогрессию:

Если налоги платить ежемесячно, то получим:

Платить налоги ежемесячно выгоднее почти в три раза!

Домашнее задание: § 29, задача №4* (стр. 144); № 394 (2), 397 (2), 400 (2).

Итоги урока:

1. Что нового мы узнали?

2. Какие свойства выявили у арифметической прогрессии.

3. Кто оценил свою работу на этом уроке на «5», на «4», на «3»?

Резерв:

1. Задача: Длины сторон прямоугольного треугольника образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите синус меньшего угла этого треугольника.

Решение: Обозначим длины сторон треугольника По теореме Пифагора имеем:

то не могут быть отрицательными, поэтому . Синус меньшего угла равен:

2. Задача на смекалку: найти закономерность в последовательности:

111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122...

[Решение революционное: надо иначе расставить запятые, получим: 11, 12, 13, 14, ...]