Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Найдите разность арифметической прогрессии

15

-7

3

4

-5

Правильный ответ:

Заполните таблицу

3

8

13

18

23

28

33

38

?

?

?

?

?

?

Заполните таблицу

20

16

12

8

4

0

-4

-8

?

?

?

?

?

?

Заполните таблицу

-4

2

8

14

20

26

32

38

?

?

?

?

?

?

Закрыть

Из истории математики:

С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855).

Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно: 1 + 2 + 3 + … +100. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…»

Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное. Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?

З А Д А Н И Е

101

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдешь к решению ключи!

101

101

101

101

Давным-давно сказал один мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Вот схема рассуждений Гаусса.

Сумма чисел в каждой паре 101. Таких пар 50, поэтому искомая сумма равна

101×50 = 5050.

Попытаемся понять как ему это удалось. Выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

а n ) – арифметическая прогрессия. S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n -1 + a n , S n = a n + a n -1 +a n -2 + a n -3 + … =a 2 + a 1 a 2 + a n -1 = (a 1 + d) + (a n – d) = a 1 + a n , a 3 + a n -2 = (a 2 + d) + (a n -1 – d) = a 2 + a n -1 = a 1 + a n , a 4 + a n -3 = (a 3 + d) + (a n -2 – d) = a 3 + a n -2 = a 1 + a n и т.д. 2S n = (a 1 + a n ) n .   – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. S n = (a 1 + a n ) n : 2 , a n = a 1 + d( n – 1) S n = (a 1 + a 1 + d( n -1)) n : 2 = (2a 1 + d( n – 1)) n : 2   – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Рекуррентная формула арифметической прогрессии

Формула n –го члена арифметической прогрессии

a n =a n-1 +d

a n =a 1 +(n-1)d

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Тренировочные упражнения:

1. (a n ) – арифметическая прогрессия.

a 1 = 6, a 5 = 26. Найти S 5 .

2. (a n ) – арифметическая прогрессия. a 1 = 12, d = - 3. Найти S 16 .

Работа по учебнику

В классе

дома

• Стр158
• № 603-№607(а)

• п 26
• № 603-№605(б) -1 группа
• № 603-№607(б)- 2 группа

Итог урока

Сегодня на уроке я повторил..

Сегодня на уроке я узнал…

Мне было сложно…… .