Свойства функций

Функция.

Свойства функции.

Определение функции.

1

2

Способы задания функции.

График функции.

3

3

Алгоритм описания свойств функции.

4

Свойства функции.

5

Числовой функцией называется соответствие ( зависимость ), при котором каждому значению одной переменной сопоставляется по некоторому правилу единственное значение другой переменной.

Обозначают латинскими (иногда греческими) буквами : f, q, h, y, p и т.д.

Задание 1.

Определите, какая из данных зависимостей является функциональной

1 ) x y 2 ) a q 3 ) x d 4 ) n f

1. Функция , т.к. каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное значение переменной у

2. Не функция , т.к. не каждому значению переменной а ставится в соответствие единственное значение переменной q

3. Не функция , т.к. одному из значений переменной х ставится в соответствие не единственное значение переменной d

4. Функция , т.к. каждому значению переменной n ставится в соответствие единственное значение переменной f

1 ) x y 2 ) a q 3 ) x d 4 ) n f

- Аналитический (с помощью формулы)

- Графический

- Табличный

- Описательный (словесное описание)

Сила равна скорости изменения импульса

х

-39

у

8

3

-2

0

-7

Графиком функции f называют множество всех точек

(х; у) координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Задание 2 .

Определите, какой из данных графиков является графиком функции

Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4

у

у

у

у

х

х

х

х

НЕ ЯВЛЯЮТСЯ графиками функций рис.1, рис. 3,рис. 4

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

1. Область определения

2. Область значений

3. Нули функции

4. Четность

5. Промежутки знакопостоянства

6. Непрерывность

7. Монотонность

8. Наибольшее и наименьшее значения

9. Ограниченность

10. Выпуклость

1.Область определения

Область определения функции – все значения, которые принимает независимая переменная.

Обозначается : D ( f ).

Пример . Функция задана формулой у =

Данная формула имеет смысл при всех значениях

х ≠ -3 , х ≠ 3,

поэтому D( y )=( - ∞ ;-3) U (-3;3) U (3; + ∞ )

2. Область значений

Область (множество) значений функции – все значения, которые принимает зависимая переменная.

Обозначается : E (f)

Пример . Функция задана формулой у =

Данная функция является квадратичной , график – парабола, вершина (0; 9)

поэтому E( y )= [ 9 ; + ∞ )

3. Нули функции

Нулем функции y = f (x ) называется такое значение аргумента x 0 , при котором функция обращается в нуль : f (x 0 ) = 0 . Нули функции - абсциссы точек пересечения с Ох

x 1 ,x 2 - нули функции

4. Четность

Нечетная функция

Четная функция

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения выполняется равенство

f (-x) = - f (x) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат .

Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x) . График четной функция симметричен относительно оси ординат .

0 (график расположен выше оси ОХ) при х  ( - ∞ ; 1) U (3; + ∞ ) , y ( 1 ;3) " width="640"

Промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.

y 0 (график расположен выше оси ОХ) при х  ( - ∞ ; 1) U

(3; + ∞ ) ,

y ( 1 ;3)

Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

Задание . Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции .

правильно

подумай

1

2

f (х 2 ) . Функцию у = f (х) называют возрастающей на множестве Х , если для любых двух точек х 1 и х 2 из области определения, таких, что х 1 х 2 , выполняется неравенство f (х 1 ) (х 2 ) . f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 2 ) x 2 x 1 x 1 x 2 f(x 2 ) x 2 х 1 " width="640"

Функцию у = f (х) называют убывающей на множестве Х , если для любых двух точек

х 1 и х 2 из области определения, таких, что х 1 х 2 , выполняется неравенство

f (х 1 ) f (х 2 ) .

Функцию у = f (х) называют возрастающей на множестве Х , если для любых двух точек х 1 и х 2 из области определения, таких, что х 1 х 2 , выполняется неравенство

f (х 1 ) (х 2 ) .

f(x 1 )

f(x 1 )

f(x 2 )

x 2

x 1

x 1

x 2

f(x 2 )

x 2

х 1

Число m называют наименьшим значением функции

у = f (х) на множестве Х , если:

1) в области определения существует такая точка х 0 , что f (х 0 ) = m .

2) всех х из области определения выполняется неравенство

f (х) ≥ f (х 0 ).

Число M называют наибольшим значением функции

у = f (х) на множестве Х , если:

1) в области определения существует такая точка х 0 , что f (х 0 ) = M .

2) для всех х из области определения выполняется неравенство

f (х) ≤ f (х 0 ).

Функцию у = f (х) называют ограниченной снизу на множестве Х , если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа .

Функцию у = f (х) называют ограниченной сверху на множестве Х , если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа .

у

у

х

х

Функция выпукла вниз на промежутке Х если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх на промежутке Х , если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка .

1.Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. — 10-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009.

2.Картинка с сайта:

Сова- http://www.allforchildren.ru/pictures/school/school10-01.gif