Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

Предмет: математика

Дата: 1.11.2021

Группа: 1-1 ^м-авто^

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тема: свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

1. Функция y = sin x, ее свойства и график

. График функции синуса называется синусоидой. Отрезок [-1; 1] оси ординат, с помощью которого находили значения синуса, иногда называют линией синусов

приведем основные свойства функции у = sin х:

1. Область определения D(y) = (-∞; +∞).

2. Функция нечетная (т. е. у(-x) = -e(x)) и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция возрастает на отрезках вида   и убывает на отрезках вида   где k ∈ Z.

4. Функция ограничена, т. е. -1 ≤ у(х) ≤ 1.

5. Наименьшее значение функции yнаим = -1 (достигается в точках вида  ) и наибольшее значение унаиб = 1 (достигается в точках вида  ).

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = [-1; 1].

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = 2п, т. е. у(х + 2пk) = y(x).

2. Функция у = cos x, ее свойства и график

Перечислим основные свойства функции у = cos x:

1. Область определения D(y) = (-∞; +∞).

2. Функция четная (т. е. y(-х) = y(х)), и ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Функция возрастает на отрезках вида [-π + 2πk; 2πk] и убывает на отрезках вида [2πk; π + 2πk], где k ∈ Z.

4. Функция ограничена, т. е. -1 ≤ y(х) ≤ 1.

5. Наименьшее значение функции унаим = -1 (достигается в точках вида х = π + 2пk) и наибольшее значение унаиб = 1 (достигается в точках вида х = 2пk).

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = [-1; 1].

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т= 2п, т. е. у(х + 2пk) = у(х).

Задание№1Найдем наименьшее и наибольшее значения функции: 

Задание№2 Установим четность или нечетность функции

Задание №3 постройте график функции у = cos x-2

Задание №4 постройте график функции у = sin х+1

Итог урока, оценивание

uma.kasymova@mail.ru

Указать дату, Ф.И.О и группу

Предмет: математика

Дата: 2.11.2021

Группа: 1-1 ^м-авто^

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тема: свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента, она меняет свое значение на противоположное. Формульная запись этого выглядит так  . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция изменит свой знак. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Примерами нечетных функций являются   и др.

Например, график   действительно обладает симметричностью относительно начала координат:

Функция называется четной, если при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение. Формульная запись этого выглядит так   . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция в результате не изменится. График такой функции симметричен относительно оси   .

Примерами четных функций являются   и др.

К примеру, покажем симметричность графика   относительно оси   :

Если функция не относится ни к одному из указанных видов, то ее называют ни четной ни нечетной или функцией общего вида. У таких функций нет симметрии.

Такой функцией, например, является недавно рассмотренная нами линейная функция   с графиком:

Периодичная функция – это функция, которая не меняет свои значения при добавлении к аргументу определенного постоянного ненулевого числа.

Такое минимальное число называют периодом функции и обозначают буквой   .

Формульная запись этого выглядит следующим образом:   .

Посмотрим на это свойство на примере графика синуса:

Вариант1

В 1. Найдите значение функции f (x) = 1/√3 tg (x — π/6) в точке хₒ = π/3.

а) 1/6 б) 1 в) 0

В 2. Найдите область определения функции f (x) = 1 + tg x.

а) (- ∞; + ∞) б) [ - 1; 1] в) все х, кроме х= π/2 + πn

В 3. Найдите область значений функции у = 6 sin (x - π)

а) [ - 1; 1] б) [ - 6; 6] в) (- ∞; + ∞)

В 4. Установите, функция f (x) = x² sin x + x является:

а) четной б) нечетной в) ни четной, ни нечетной.

Часть С.

С 1. Постройте эскиз графика функции у = х² — 3.

Вариант 2.

Часть В.

В 1. Найдите значение функции f (x) = -3 cos (x + π/4) в точке хₒ = π/4.

а) 0 б) -3 в) 1

В 2. Найдите область определения функции f (x) = ctg x - 4

а) (- ∞; + ∞) б) [ - 1; 1] в) все х, кроме х= πn

В 3. Найдите область значений функции у = 0,5 cos (x + π/2)

а) [ - 1; 1] б) [ - 0,5; 0,5] в) (- ∞; + ∞)

В 4. Установите, функция f (x) = 1 + х cos x является:

а) четной б) нечетной в) ни четной, ни нечетной.

Часть С.

С 1. Постройте эскиз графика функции у = (х + 1)².

uma.kasymova@mail.ru

Указать дату, Ф.И.О и группу

Предмет: математика

Дата: 3.11.2021

Группа: 1-1 ^м-авто^

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тема: Понятие об обратных функциях . определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса.

Арксинус

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Итог урока. Оценивание

uma.kasymova@mail.ru

Указать дату, Ф.И.О и группу

Предмет: математика

Дата: 6.11.2021

Группа: 1-1 ^м-авто^

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тема: тест по теме ^Обратные тригонометрические функции^

№1Найди arcctg1:

• π3

• π6

π4

№2«2Решением уравнения sinx=−1 является:

• x=πk,k∈Z

• нет решения

• x=π2+2πk,k∈Z

• x=−π2+2πk,k∈Z

№3Найди корни уравнения cosx=3.

• x=π2+πk,k∈Z

• Нет корней

• x=2πk,k∈Z

• x=π+2πk,k∈Z

№4Вычисли значение выражения arccos1:

• π3

• π4

• 2π

• 0

№5Вычисли arcsin0:

• π4

• π2

• 0

• π6

№6 Вычисли значение выражения arctg(−3–√3):

• −π6

• −π4

• 3π4

• 5π6

№7Вычисли arcctg(−1):

• −π4

• 5π6

• 3π4

• −π6

№8 Вычисли, чему равно выражение в радианах 6⋅arccos3–√2−5⋅arccos2–√2

№9Вычисли значение выражения 5⋅arcsin(−1)+5⋅arcsin12

№10 Вычисли значение выражения 5⋅arcsin(−1)+5⋅arcsin12

№11Вычисли значение выражения tg(arctg(0,3))+ctg(arcctg(−2))−3

  Итог урока , оценивание

uma.kasymova@mail.ru

Указать дату, Ф.И.О и группу