Свойство корня n-ой степени из числа

Тема: Свойство корня n-ой степени из числа

Выполнила:

студентка Харлампьева Варвара,

ГАУ КО ПОО КСТ

Определение 1:

• Корнем n -ой степени из числа «a» называется такое число, n -ая степень которого равна «a».

Определение 2:

• Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа «а» называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна «а».

Теорема 1:

• Теорема 1:
• Корень n-ой степени (где n = 2, 3, 4, …) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-ой степени из этих чисел.

Доказательство теоремы 1:

Доказательство.

Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел x, y, z выполняется равенство x = yz.

Введём следующие обозначения:

Из определения корня n-ой степени из неотрицательного числа мы знаем:

Что и требовалось доказать.

Очевидно , что теорема остаётся справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.

После замены в равенстве чисел a, b , произведения ab на соответствующие им выражения, получим, что:

0 и n – натуральное число , n 1, то справедливо равенство: " width="640"

Теорема 2:

• Теорема 2.

Если a ≥ 0, b0 и n – натуральное число , n 1, то справедливо равенство:

Доказательство теоремы 2:

Доказательство.

Используя определение корня n-ой степени из неотрицательного числа, можно записать:

Доказывать это свойство мы будем аналогично предыдущему. Введём обозначения.

Получим:

Что и требовалось доказать.

1 , то справедливо равенство: Другими словами, чтобы возвести корень в натуральную степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение. " width="640"

Теорема 3:

• Теорема 3.

Если a ≥ 0, k – натуральное число и n – натуральное число , n 1 , то справедливо равенство:

Другими словами, чтобы возвести корень в натуральную степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Доказательство теоремы 3:

• Доказательство.

Эта теорема является следствием теоремы 1. Если k = 3, то получим:

Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя k.

1 , то справедливо равенство: Доказательство этого свойства мы можем провести самостоятельно, оно аналогично доказательству первой и второй теоремы. Мы научились перемножать, делить, возводить в степень и извлекать корень из корней n-ой степени из неотрицательного числа. А как же складывать и отнимать такие корни? Никак. Их нельзя просто так складывать и вычитать. Надо преобразовывать каждый корень, а затем, если это возможно, складывать полученные результаты. " width="640"

Теорема 4:

• Теорема 4.

Если a ≥ 0, k – натуральное число и n – натуральное число, n 1 , то справедливо равенство:

Доказательство этого свойства мы можем провести самостоятельно, оно аналогично доказательству первой и второй теоремы.

Мы научились перемножать, делить, возводить в степень и извлекать корень из корней n-ой степени из неотрицательного числа. А как же складывать и отнимать такие корни? Никак. Их нельзя просто так складывать и вычитать. Надо преобразовывать каждый корень, а затем, если это возможно, складывать полученные результаты.

Теорема 5:

• Теорема 5.

Если показатели корня и степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не

изменится.

Например.

.

Доказательство теоремы 5:

Доказательство.

Возведём обе части последнего равенства в одну и ту же степень p, получим:

Введём некоторые обозначения:

Итак, получили:

Тогда по определению корня n-ой степени из неотрицательного числа, можно записать:

Что и требовалось доказать .