Թեորեմ՝ տարածության ցանկացած վեկտորը երեք ոչ համահարթ վեկտորներով ներկայացնելու մասին

Թեորեմ՝ տարածության ցանկացած վեկտորը երեք ոչ համահարթ վեկտորներով ներկայացնելու մասին

Դիցուք և երեք ոչ համահարթ վեկտորներ են, -ը՝ տարածության կամայական վեկտոր: Արտահայտել վեկտորը և վեկտորներով ( այլ կերպ ասած՝ վեկտորը վերլուծել ըստ և վեկտորների) նշանակում է գտնել այնպիսի x, y և z թվեր, որ տեղի ունենա

հավասարությունը:

Թեորեմ ( Վեկտորների վերլուծման միակության մասին)

Տարածության ցանկացած վեկտոր կարող է վերածվել տրված երեք ոչ համահարթ վեկտորներով, ընդ որում միակ ձևով:

Ապացույց. Դիցուք և -ն տրված երեք ոչ համահարթ վեկտորներն են, -ը ցանկացած վեկտոր է: Կարող ենք համարել, որ այդ չորս վեկտորների սկզբնակետը միևնույն O կետն է: Քննարկենք սկզբում այն դեպքը, երբ վեկտորը չի պատկանում և , և վեկտորների զույգերով որոշվող հարթություններից ոչ մեկին: M-ով նշանակենք վեկտորի վերջնակետը: Կառուցենք մի զուգահեռանիստ, որի համար OM-ը անկյունագիծ է, իսկ կողերը զուգահեռ են և վեկտորներին: Նշանակենք այդ զուգահեռանիստը OAKBCLMN:

Նշանակենք , , Ուստի՝

Այսպիսով, ապացուցեցինք, որ ցանկացած վեկտոր կարող է ներկայացվել է տեսքով: Մնում է ցույց տալ, որ այդպիսի ներկայացումը միակն է:

Ենթադրենք հակառակը՝ գոյություն ունի ( ) թվերի այլ հավաքածու, որը տարբեր է (x,y,z)-ից, որի համար նույնպես ճիշտ է

հավասարությունը: վեկտորի մի ներկայացումից հանելով մյուսը, կստանանք՝

Եթե, օրինակ, ապա վերջին հավասարությունից վեկտորը կարտահայտվի -ով և -ով՝

Դա նշանակում է, որ վեկտորը գտնվում է վեկտրորներով որոշվող հարթության մեջ, այսինքն՝ և -ն համահարթ են, ինչը հակասում է մեր ենթադրությանը:

Այն դեպքում, երբ վեկտորը պատկանում է , օրինակ, վեկտորներով որոշվող հարթությանը, ապա, ինչպես գիտենք հարթաչափության դասընթացից, -ը միակ ձևով ներկայացվում է վեկտորների միջոցով և հետևաբար կստանանք

ներկայացումը: Դրանով իսկ թեորեմը լիովին ապացուցված է :

x, y, z թվերը անվանում են վեկտորի կոորդինատներ և վեկտորների տրվող կոորդինատային համակարգում: Եթե և զույգ առ զույգ փոխուղղահայաց միավոր երկարությամբ վեկտորներ են, ապա ստանում ենք դեկարտյան կոորդինատային համակարգը:

Զույգ առ զույգ փոխուղղահայաց միավոր վեկտորների եռյակը նշանակենք՝ Դրանք կոչվում են կոորդինատային վեկտորներ:

Մասնավորապես, եթե -ը A կետի կոորդինատներն են O սկզբնակետով և եռյակով տրվող դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, ապա

Եթե -ը և -ը տարածության ցանկացած երկու կետեր են, ապա վեկտորի կոորդինատներ հանդիսանում է թվերի եռյակը: Գրվում է :

Երկու վեկտորների գումարի (տարբերություն) յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների գումարին (տարբերությանը):

Այսինքն, եթե և տրված վեկտորներ են, ապա

:

Վեկտորի և թվի արտադրյալի յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է վեկտորի համապատասխան կոորդինատի և այդ թվի արտադրյալին:

Այսինքն, եթե –ը տրված վեկտոր է, k-ն՝ տրված թիվ, ապա

: