Технологическая карта и конспект урока по теме "Арифметическая прогрессия"

Характеристика этапов урока

Конспект урока по теме: «Арифметическая прогрессия»

Тип урока: урок изучения нового знания

Образовательные цели:

создать условия для формирования первоначальных представлений об арифметической прогрессии; поиска и выделения необходимой информации; подведения под понятия; выведения следствий; умения строить логическое рассуждение и делать выводы; формирования образовательной компетентности.

Развивающие цели:

организовать работу по развитию умений определять понятия, создавать обобщения;

развитию умений анализировать.

Воспитательные цели:

способствовать воспитанию настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения; формирование целостного мировоззрения.

Ход урока

1. Мотивирование к учебной деятельности (организационный момент).

2. Этап актуализации знаний и умений.

- Наше познание курса алгебры можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами преодолеем ещё одну математическую вершину, а какую вы узнаете позже. А теперь давайте проверим ваш багаж и выясним, готовы ли вы к восхождению.

(Слайд 1)

Устный счет.

1. В последовательности (х_n): 9; 7; 5; 3; 1; - 1; -3; … назовите первый, четвёртый, шестой и седьмой члены.

(Слайд 2-3)

1. Числовая последовательность задана формулой a_n=2n+5. Заполните таблицу.

(Слайд 4-5)

1. Числовая последовательность задана формулой a_n=n(n-1). Заполните таблицу.

-Давайте вспомним, какие способы задания последовательностей чисел вы знаете?

-Аналитический (с помощью формулы), словесный, рекуррентный.

Следующим шагом выполнение заданий по карточкам.

Теоретически – практический тест

Вариант 1

1. Последовательности бывают:

а) конечные б) постоянные в) бесконечные

2. Числа, образующие последовательность, называются:

а) членами б) номерами в) числами

3. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена х_n = 2n – 1

а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …

4. Найдите седьмой член последовательности ( а_n), заданной формулой: а_n = n( n + 1 )

а) 5 б) 12 в) 56

5. Найдите второй член последовательности ( с_n ), если с₁ = 8; с_n+1 = c_n – 1

а) 6 б) 7 в) 8

Вариант 2

1. Последовательность обозначается

а) хⁿ б) аn в) ( x_n )

2. Способы задания последовательностей:

а) формулой n – го члена б) рекуррентный способ в) словесный

3. Члены последовательности обозначаются:

а) а¹, а², а³,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а₁, а₂,а₃,….

4. Найдите второй член последовательности ( с_n ), если с₁ = 8; с_n+1 = c_n + 1

а) 9 б) 7 в) 3

5. Найдите шестой член последовательности ( а_n), заданной формулой: а_n = n( n + 1 )

а) 67 б) 42 в) 56

(учащиеся выполняют тест по вариантам, при проверке обмениваются тестами и выполняют взаимопроверку по предложенным ответам, выставляют оценки согласно критериям. За каждое верно выполненное задание 1 балл) (Слайд 6)

- Поставьте оценки в листы для самооценки, которые вы сдадите в конце урока.

(Приложение 1)

- Кто всё правильно выполнил? У кого 1 ошибка? 2 ошибки?

- Молодцы! Теперь можно смело отправляться в путь. Путь к вершине всегда труден, и чтобы её достичь, нужно преодолеть немало испытаний. Перед вами первое испытание.

3. Этап проблематизации.

(Работа в парах + группа из 4 человек разгадывает кроссворд)

(Слайд 7)

Предложенные числовые последовательности распределите на две группы, назовите их общий признак.

(a_n): 3; 6; 9; 12…

(х_n): 3; 9; 27; 81…

(c_n): 2; 4; 8; 16…

(b_n): 1; 3; 5; 7…

- В первой группе следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа или два соседних члена отличаются на одно и то же число.

- Во второй группе следующий член последовательности получается при умножении предыдущего на число.

- Кто готов ответить? Какие ещё варианты?

- Теперь сравните полученные результаты с образцом и поставьте оценки. (Слайд 8)

(Правильно сгруппированы последовательности и верно определён признак – «5», верно сгруппированы последовательности, но признак определён неверно – «4», допущены 1 - 2 ошибки при группировке последовательностей, признак определён неверно – «3», допущено больше 2 ошибок, признак не определён или определён неверно – «2»)

Поднимите руки у кого «5», «4».

Ребята, давайте сравним последовательности:

(a_n): 3; 6; 9; 12… и (х_n): 3; 9; 27; 81…

Найдите между ними различия.

- В первой последовательности увеличивается на 3, а во второй последовательности увеличивается в 3.

Записать на доске: 1; 3; 5; 7; 9… a_n=2n+1

2; 4; 6; 8; 10… a_n=2n

-Что это за последовательности? Могу ли я представить их с помощью формулы?

-Это последовательности нечетных и четных чисел. Да.

- Ребята, как вы думаете, изучением чего мы сегодня займемся?

-Изучением данных последовательностей.

-Чему мы сегодня научимся?

-Задавать формулой данные последовательности.

- Как называется каждая из этих последовательностей нам скажут ребята, работавшие в группе.

Вопросы:

1. Номер члена последовательности, стоящего в самом начале. (Первый)

2. Член последовательности, стоящий перед любым ее членом, начиная со второго. (Предыдущий)

3. Последовательность, в которой конечное число членов. (Конечная)

4. Способ задания последовательности, который в переводе с латинского означает «возвращаться» . (Рекуррентный)

5. Числа, образующие последовательность. (Члены)

6. Последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего. (Возрастающая)

7. Способ при котором правило составления последовательности описано словами. (Словесный)

8. Число, указывающего порядковый номер любого члена последовательности. (Индекс)

9. Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего. (Убывающая)

-Это … (прогрессия). Верно.

Проверьте ваши ответы и поставьте оценки согласно критериям. (Слайд 9)

(Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2-3 ошибки – «3», больше 3 ошибок – «3»)

-Что мы сегодня будем изучать? (прогрессии)

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперёд»)

Прогрессии бывают арифметические и геометрические.

Сегодня мы изучим одну из них. Предлагаю начать с арифметической прогрессии.

- Тема урока: «Арифметическая прогрессия» (Слайд 10)

4. Целеполагание и мотивация.

-Чтобы знать, к чему стремиться, сформулируйте цель и задачи урока.

(Слайд 11)

Цель: изучить арифметическую прогрессию

Задачи:

• изучить определение арифметической прогрессии;

• узнать, как задаётся арифметическая прогрессия;

• научиться определять, является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет;

• изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии;

• научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

5. Усвоение новых знаний и способов усвоения.

Работа с учебником.

Откройте учебник на странице 145, найдите и прочитайте вслух определение арифметической прогрессии.

Определение.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии.

-Запишите его в тетрадь.

Фронтальная работа.

Что означает фраза: «Запиши на языке математики»? (Записать с помощью специальных обозначений)

Для обозначения арифметической прогрессии словосочетание «арифметическая прогрессия» заменяют значком и пишут:

. (Записать на доске).

a₁ – первый член, a₂ – второй член прогрессии.

№ 443 с.129 учебника

Работа в парах.

- Чтобы продолжить путь предлагаю решить задачу (Слайд 12). Обсудите её решение в парах.

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. Какова будет продолжительность ванны на 5 день лечения? (15, 20, 25, 30, 35)

Как вы решили эту задачу? (прибавляли по 5 и взяли пятое число или записали арифметическую прогрессию и взяли пятый член)

- Кто верно решил задачу? Поднимите руки.

Как поступить, если потребуется узнать продолжительность процедуры через месяц лечения? (Аналогично)

Проблема.

- А как упростить решение этой задачи? Что позволяет сразу находить любой член последовательности,

(Эту задачу можно решить быстрее, если удастся найти формулу n-го члена, т. е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии.)

- Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Для этого рассмотрите арифметическую прогрессию с разностью d, заполните пропуски, выявите закономерность и запишите формулу. Групповая работа. Раздать задания. Приложение 3.

,

,

,

,

, и т.д.

Догадайтесь, как найти а_n.

_{Проверьте, что получилось. (Слайд 13)}

_{Оцените свою работу согласно критериям. ( Задание выполнено верно – «5», допущена ошибка в записи формулы – «4», допущена ошибка в заполнении пропусков – «3», допущена ошибка в заполнении пропусков и неверно записана формула «2»)}

,

,

,

,

, и т.д.

Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Запишите её в тетрадь.

- Кто справился с заданием? У кого были ошибки? Где ошиблись?

Доказательство этого факта можно посмотреть дома в учебнике.

Динамическая пауза.

6. Организация первичного закрепления.

(Слайд 14)

Какие задачи можно решать, используя формулу a_n = a₁ + d(n-1).

(Найти , , d , n)

Вернёмся к нашей задаче. (Слайд 15) Как перевести её условие на математический язык? Что известно в задаче? (а₁= 15, d = 5)

Что нужно найти? (а₃₀ или а₃₁ в зависимости от того сколько в месяце дней)

- Запишем решение задачи в тетрадь при условии, что в месяце 30 дней.

Показать оформление. (Слайд 16)

Дано: а₁= 15, d = 5.

Найти: а_30.

Решение: а₃₀ = а₁ +(30 – 1) d = 15 + 29*5 = 15 + 145 = 160

Ответ: а₃₀ = 160.

Молодцы, вы преодолели ещё один этап и теперь имеете весь необходимый инвентарь для дальнейшего продвижения, нужно только правильно им пользоваться.

Ну а теперь займемся применением формул при решении задач.

№442 (б) с 128 – 3 человека к доске, а остальные оценят.

№446 с 129 – задать по рядам.

7. Организация первичного контроля.

Понимание данной темы дает вам возможность получить дополнительный балл на экзамене. Задания данной темы вынесено под №11.

(Слайд 17)

Приведем примеры заданий:

1. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия   Най­ди­те   .

Решение.

Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 23.

1. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 30 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

Решение.

Количество мест в рядах ки­но­за­ла об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. По фор­му­ле для на­хож­де­ния n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1.

8. Подведение итогов урока.

9. Информация о домашнем задании. (Слайд 18)

1 уровень. § 16 пункт 1, 2, 4, № 16.3(а, в), 16.4(а, б),

10. Рефлексия. (Слайд 19)

Продолжите фразы:

• Сегодня я научился…

• Я узнал, что…

• Для меня было трудным…

• Чтобы усвоить тему мне нужно…

(Слайд 20)

(Слайд 21)

- Спасибо за урок. Я хочу подарить вам закладки на память о нашем плодотворном сотрудничестве и пожелать дальнейших успехов в покорении математических вершин.

5