Технологическая карта практичекого занятия по теме "Комплексные числа и действия над ними".

Техникум гидромелиорации и механизации сельского хозяйства (филиал) ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского»

в пгт Советский

Технологическая карта учебного занятия

Занятие № по дисциплине Математика

Специальности 21.02.19. Землеустройство

Группы курс 1.

Тема: «Комплексные числа и действия над ними».

Цели занятия: дать определение комплексных чисел, сопряженных комплексных чисел, модуль, аргумент комплексного числа и его изображение на комплексной плоскости, ввести действия над комплексными числами, применять комплексные числа при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Образовательная:

• обобщить знания связанные с комплексными числами;

• научиться выполнять действия над комплексными числами;

• научиться вычислять модуль комплексного числа;

• научиться изображать комплексные числа на плоскости;

• решать квадратные уравнения с отрицательные дискриминантом;

• оценить свои знания по теме.

Развивающая:

• развитие зрительного анализа, внимания;

• абстрактно-логического мышления;

• развивать логическое мышление;

• умения анализировать и делать выводы.

Воспитательная:

• повышение интереса обучающихся к предмету;

• развивать умение работать в группе;

• воспитание прилежания, активности, внимания.

Освоение данной темы обеспечивает достижение следующих результатов:

• - уметь переносить знания в познавательную и практическую области жизнедеятельности;

• - уметь интегрировать знания из разных предметных областей;

• - выдвигать новые идеи, предлагать оригинальные подходы и решения; и способность их использования в познавательной и социальной практике.

Тип занятия : Практическое.

Межпредметные связи: алгебра.

Технические средства обучения учебник, карточки с заданиями, ноутбук, экран.

Литература:

1. Булдык, Г. М. Математика / Г. М. Булдык. — 2-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2024. — 156 с. — ISBN 978-5-507-48578-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/356150.

2. Блинова, С. П. Математика. Практикум для студентов технических специальностей : учебное пособие для спо / С. П. Блинова. — 3-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2024. — 196 с. — ISBN 978-5-507-49222-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/383441.

3. Богомолов, Н. В.  Алгебра и начала анализа : учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — Москва : Издательство Юрайт, 2024. — 240 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-09525-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/536960.

Структура занятия:

1.Организационный момент.(5 мин.)

2. Подготовка учащихся к активному сознательному усвоению знаний (актуализация знаний учащихся) (10 мин)

3. Повторение материала (20 мин)

4.Закрепление новых знаний (ответы на вопросы, решение задач и примеров) (30 мин)

5. Самостоятельное решение практических заданий. (15 мин)

5. Информация о домашнем задании, методические указания по его выполнению. (5 мин)

6.Рефлексия. Подведение итогов.(5 мин).

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

Комплексным числом называется выражение вида a+bi , где a и b –действительные числа, а i-мнимая единица. Множество комплексных чисел обозначается через C.

Запись комплексного числа в виде a+ bі называется алгебраической формой комплексного числа.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число z = a+ bі можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a, b). Комплексное число z = a+ bі можно изобразить в виде вектора с началом в точке О (0; 0) и концом в точке Z (а; b).

Изобразить на плоскости числа: z₁=5; z₂= -3 ; z₃=3+2 ; z₄=5-2 ; z₅=-3+2 ; z₆= -1-5 .

Решение.

Модулем комплексного числа z = a+bі называется длина вектора , которую можно найти по формуле

Пример. z=1-7i.

Решение. а=1, b=-7‚ то

Задание 1. Изобразить на комплексной плоскости и найти модули комплексных чисел:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сумма: z₁ = 2+3і и z₂=5-7і

Решение: z₁ + z₂ = (2+3і) + (5-7і) = 2+3і+5-7і=(2+5)+(3і-7і)=7-4і

Разность:

Решение (2+3і)−( 5-7і)= 2+3і-5+7і=(2-5)+(3і+7і)=-3+10і

Произведение:

Решение:

z₁ z₂= (2+3і)(5-7і)= 10-14і+15і -21і²=10-14і+15і-21·(-1)= (10+21)+(-14і+15 і) =31+ і (замечание: здесь учтено, что i² = – 1).

Задание 2. Вычислите:

1. (3 + 5i) + (7 – 2i). 2. (6 + 2i) + (5 + 3i)

3. (– 2 + 3i) + (7 – 2i). 4. (5 – 4i) + (6 + 2i).
5. (3 – 2i) - (5 + i). 6. (4 + 2i) - (– 3 + 2i).
7. (– 5 + 2i) - (5 + 2i). 8. (– 3 – 5i) - (7 – 2i)

9. (2 + 3i)·(5 – 7i). 10. (6 + 4i)·(5 + 2i).
11. (3 – 2i)·(7 – i). 12. (– 2 + 3i)·(3 + 5i).
13. (1 –i)·(1 + i). 14. (3 + 2i)·(1 + i).
15. (6 + 4i)·3i. 16. (2 – 3i)·(– 5i).

Комплексные числа а + bi и а – bi называются сопряженными комплексными числами. Они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

(а + bi)(а - bi) = а² + b².

Для выполнения деления двух комплексных чисел необходимо произвести дополнительное действие: умножить делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

Пример, выполнить деление:

Решение

Задание 3. Выполнить деление:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом:

Решим квадратное уравнение: .

Найдем дискриминант по формуле: . Учитывая, что , получим: . Тогда . Корни уравнения находим по формулам^ ;

; .

Ответ: , .

Задание 4

Решите уравнения:

Домашнее задание

Задание 1. Изобразите на плоскости заданные комплексные числа и найдите их модули

Задание 2. Произведите сложение и вычитание

А) (3 + 2i) + (1 – 4i). б) (– 5 + 3i) - (8 – 2i).
Задание 3. Произведите умножение

a) (2 + 5i)(9 – 3i).  б) (4 – i)(6 +7i). 
Задание 4. Выполните деление комплексных чисел:

а)

Задание 5. Решите уравнение.

а) x² - 2x + 5 = 0.

Вопросы для проверки

1. Что называется комплексным числом?

2. Как геометрически изображаются комплексные числа?

3. Какие комплексные числа называются сопряженными?

4. Какие действия над комплексными числами можно выполнять?