Технологическая карта урока геометрии в 8 классе по теме "Теорема Пифагора и её применение"

Этапы урока

Содержание учебного материала.

Деятельность

учителя

Деятельность

обучающихся

Формирование УУД

Организационный момент

Приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей).

Настраиваются на урок , проверяют готовность своего рабочего места

Актуализация субъектного опыта учащихся.

Постановка проблемы

- Сегодня я предлагаю вам отправится в Х- педицию. Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей.

Прежде, чем познакомиться с новой темой, выполним некоторые задания.

1.Найдите пропущенное число: (рис.1)

Какая здесь закономерность?

2. Назовите два следующих числа

36.49,64,81,100, 121, ….

1. Назовите фигуры, которые вы видите на экране (рис.2)

- Какие бывают треугольники?

-Какой треугольник называется прямоугольным?

-А какая фигура называется квадратом?

- Как мы находим его площадь?

- Назовите элементы прямоугольного треугольника?

- Ребята, мы продолжаем нашу экспедицию и для путешествия нам нужен корабль

«Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого тороса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м для крепления мачты?».

Для решения этой проблемы мы организуем практическую работу исследовательского характера

-Обратите внимание на левую доску. Что нам дано?

-Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.

-Итак, Определите, как связаны катеты и гипотенуза в каждом из треугольников (Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

- 144

-- Произведение двух одинаковых чисел

- 144, 169. Каждое число – это произведение двух одинаковых чисел

- Треугольники

Остроугольные, прямоугольные, тупоугольные.

-Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90º).

-Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

-Площадь квадрата равна квадрату стороны.

-Стороны, прилежащие к прямому углу – катеты, а третья сторона – гипотенуза.

Анализируя математическую модель этой практической задачи, учащиеся формирую проблему – нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

-На боковой доске даны изображения прямоугольных треугольников с указанными длинами сторон.

Дети выходят к доске и заполняют таблицу:

-Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД).

Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя (Познавательные УУД).

Умение слушать и понимать речь других, работать в парах

(Коммуникативные УУД).

Уметь проговаривать последовательность действий на уроке; (Регулятивные УУД). Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя (Регулятивные УУД).

постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера; (познавательные УУД)

Изучение новых знаний и способов деятельности

-Совершенно верно. Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. И сегодня на уроке мы найдем и изучим эту связь. Тема нашего урока – «Теорема Пифагора». Теорема эта отражает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

Эпиграф урока

«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением…» Иоганн Кеплер

На доске появляется тема урока.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

- На экране - портрет Пифагора и формулировка теоремы. Прочтите, пожалуйста, теорему.

-Правильно. Отметьте у себя в тетрадях тему нашего урока. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.

-Нам дан прямоугольный треугольник АВС, ВС= a, АС= b и АВ=с, как показано на доске. Зарисуйте его себе в тетрадях.

-Теперь запишем, что нам надо доказать.

-Итак, записываем:

Доказательство: (рис.3)

Построим на катете прямоугольного треугольника (длиной 4 квадрата) квадрат со стороной, равной этому катету, на втором катете (длиной три квадрата) построим квадрат со стороной, равной этому катету, и, аналогично, на гипотенузе построим квадрат со стороной, равной гипотенузе.

с²

а²

в²

Чему равна площадь квадрата со стороной а?

Чему равна площадь квадрата со стороной в?

Чему равна площадь квадрата со стороной с?

У вас у каждого на парте лежат треугольники и квадраты. Достали ножницы из чехлов…

Теперь положите квадрат с площадью а² на квадрат с площадью с². Разрежьте квадрат с площадью в² на девять равных квадратиков и заполните ими свободное пространство на квадрате с² . Мы наглядно показали, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

–Что и требовалось доказать

-Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Физкультминутка

- попробуем принять царственную позу: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное: ведь мы занимаемся геометрией!

Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны во все стороны равны»

и «Пифагорова невеста»

(рис. 5).

Один ученик читает вслух, другие про себя. Далее ученик повторяет, не глядя на экран.

с ² = a ² + b ²

S₁ = а²

S₂ = в²

S₃ = с²

S₃ = S₁ + S₂

с ² = a ² + b ²

выполняют упражнения под руководством одного из учеников

Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — определение цели, функций участников, способов взаимодействия;

постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

разрешение конфликтов — выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация;

управление поведением партнера - контроль, коррекция, оценка его действий;

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

(коммуникативные УУД)

Первичная проверка

Работа в группах

(на экране задача и рисунок к ней) (рис.6)

-У египтян была известна задача о лотосе. "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».

Трем группам из четырех человек даются карточки в виде прямоугольных треугольников с заданиями и табло с ответами (см. приложение)

На экране компьютера появляется карта Древнего мира. (рис.7). Если соединить города, где жил Пифагор отрезками, то получиться прямоугольный треугольник.

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей - полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду. Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе: 1) теорема о сумме внутренних углов треугольника; 2) построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них; 3) геометрические способы решения квадратных уравнений; 4) деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; 5) доказательство того, что 2 не является рациональным числом; 6) создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое. Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев. Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

А теперь закрыли глаза, если вы мысленно проведете отрезки от тех мест, где родился и жил Пифагор, то получим тот самый прямоугольный треугольник, над которым мы с вами сегодня и работаем. Откройте глаза. Мы с вами совершили еще одно открытие и продвинулись дальше в нашей исследовательской деятельности.

Записывают решение в тетрадь.

Дано: АВС –прямоугольный треугольник,

АВ =13 футов,

АС = 12 футов,

Найти ВС.

Решение:

По теореме Пифагора имеем:

АВ²=ВС²+АС²,

ВС²=АВ²-АС²,

ВС²=169-144

ВС²=25

ВС=5

Каждый ученик решает свою задачу и ставит свой треугольник на свое место. В результате в группах получаются – карта Древней Греции, карта Древнего Египта и карта древней Италии. Капитаны выходят к доске со своими картами.

Закрывают глаза.

Поиск и выделение необходимой информации, в том числе решение рабочих задач с использованием общедоступных инструментов ИКТ и источников информации;

структурирование знаний;

осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

((познавательные УУД)

Информация о домашнем задании

К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач. Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например, в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон».

Записывают домашнее задание в дневники

Закрепление изученного

А теперь, дети, каждый из вас попробует совершить открытие самостоятельно.

На экране появляются задачи на теорему Пифагора. (см. приложение)

Показать Собор Парижской богоматери (рис. 9)

- Готика – это такой художественный стиль, получивший распространение в Европе в XII – XVI вв. В готике отражаются все изменения в структуре средневекового общества, уже начавшего переход к Возрождению. Наиболее ярко готика проявилась в архитектуре. Яркий образец готической архитектуры – известный Собор Парижской Богоматери (Notre Dame de Paris). Здесь и особая каркасная система со стрельчатыми арками, и высота, и витражи, и стремящиеся вверх башни, и стрельчатые окна. Общая черта готики – отражение новых духовных устремлений человека.

Решая задачу, дети вписывают букву в таблицу против получившегося ответа. Дети получают слово «готика»

Обобщение и систематизация

-Сейчас вам предстоит выполнить задания на карточках (см. приложение)

Выполняют задания на карточках и сдают учителю на проверку.

Подведение итогов учебного занятия

Итак наша Х-педиция закочилась. Мы сделали еще один шаг в познание природы. Спасибо за хорошую работу. Давайте вместе прочтем мудрые слова Галилея:

«Великая книга истории написана математическими символами»

Выставление оценок.

Читают с экрана

Рефлексия учебной деятельности

Организация рефлексии на основе метода неоконченных предложений Ответь на 5 любых предложений.

Я почувствовал, что…

Было интересно…

Меня удивило…

Своей работой сегодня я…, потому что...

Мне захотелось…

Мне больше всего удалось…

Заставил задуматься…

Навел на размышления…

Сегодня я узнал…

Было трудно…, потому что...

Я выполнял задания…

Я понял, что…

Теперь я могу…, потому что...

Я приобрёл…

Я научился…

Задания для меня показались…, потому что...

Для меня было открытием то, что…

Мне показалось важным…, потому что...

Учитель благодарит класс за работу и просит учеников поблагодарить друг друга за работу.

Уметь оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки. (Регулятивные УУД).

Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности (Личностные УУД).

Ф.И.

Ф.И.

Вариант 1

Вариант 2

1. В прямоугольном треугольнике одна из его сторон является проекцией другой стороны.

а) да; б) нет; в) не знаю.

2. Если к прямой из точки проведены перпендикуляр и наклонная, то наклонная меньше перпендикуляра.

а) да; б) нет; в) не знаю.

3. Найдите расстояние до окна, к которому приставлена лестница.

а) 8; б) 4; в) не знаю.

4. Определите неизвестный элемент.

а) ; б) 7; в) 5.

5. Найдите AD.

а) 20; б) 10; в) не знаю.

1. В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

а) да; б) нет; в) не знаю.

2. Из двух наклонных та больше, у которой проекция меньше.

а) да; б) нет; в) не знаю.

3.Какой длины должна быть лестница?

а) 10; б) 14; в) не знаю.

4. Определите неизвестный элемент.

а)14; б); в) 4.

5. Найдите AD.

а) 14; б) 28; в) не знаю.

Дано: АВСД –ромб;

АС=24 см;

ВД=10 см,

--------------------------

Найти СД

С

Дано: АВСД –прямоугольник;

ВС = 6 см;

АС=10 см,

---------------------

Найти АВ.

А

Д

Дано: АВС –равнобедренный тр-к;

АВ=ВС=5 см;

ВД - высота,

ВД=4 см.

----------------------

Найти АС.

В

А

С

Дано: АВС – прямоугольный тр-к;;

АВ=12 см;

АС=9 см,

-----------------------

Найти ВС

С

Дано: АВС – прямоугольный тр-к;;

АВ= 5 см;

АС=12 см,

-----------------------

Найти ВС

А

В

Дано: АВС – прямоугольный тр-к;;

АВ= 5 см;

АС=12 см,

-----------------------

Найти ВС

С

А

В

В

Дано: АВС – прямоугольный тр-к;;

ВС=5 см;

АВ=3 см,

-----------------------

Найти АВ

С

А

В

Дано: АВС – прямоугольный тр-к;;

АВ=16 см;

АС=12 см,

-----------------------

Найти ВС

А

С

Дано: АВС – прямоугольный тр-к;;

АВ= 5 см;

ВС=13 см,

----------------------Найти АС

А

В

Н

Дано: АВС – тр-к;;

СН - высота

СН=6 см;

АН=8 см,

-----------------------

Найти АС

А

С

В

Н

Дано: АВС – тр-к;;

СН - высота

СН=8 см;

АС=10 см,

-----------------------

Найти АН