Технологическая карта урока "Определение тангенса и котангенса угла и их графики"

№ п/п

Этап урока

Время мин.

Задачи этапа

Планируемые результаты

Предметные

УУД

Личностные

1

Организационный момент

2

Предварительная организация класса

2

Актуализация знаний

15

Подготовить учеников к работе, восприятию материала

Логический анализ объектов с целью выделения признаков. Поиск и выделение необходимой информации.

Регулятивные

Выделение и осознание того, что уже пройдено.

Постановка учебной задачи на основе известного.

Коммуникативные

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог.

Личностные

Самоопределение

3

Изучение нового материала

20

Установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция.

Обеспечение усвоения знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации

Поиск и выделение необходимой информации.

Анализ объектов.

Построение логической цепи рассуждений.

Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.

Анализ объектов.

Построение логической цепи рассуждений.

Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи.

Контроль полученного результата.

Коррекция полученного результата.

Саморегуляция.

Коммуникативные

Умение слушать и вступать в диалог.

Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Участие в коллективном обсуждении проблем.

Личностные

Ориентация в межличностных отношениях. Самоопределение.

4

Постановка задания на дом

1

Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания

Регулятивныые

Оценка промежуточных результатов и саморегуляция для повышения мотивации учебной деятельности.

Коммуникативные

Учет разных мнений.

Выражение и аргументация своего выбора.

Личностные

Оценка своих сил.

Нравственно – этическая ориентация

5

Рефлексия

1

Открытость учащихся в осмыслении своих действий и самооценке

Регулятивные

Оценка промежуточных результатов.

Личностные

Самооценка своих действий на уроке.

№ п/п

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учеников

ФОУД

1

Организационный момент

Приветствую учащихся, поверяю готовность к уроку, организую внимание.

- Добрый день, ребята, присаживайтесь!

- Проверьте, пожалуйста, все ли у вас готово к уроку. Откройте тетради и запишите число и классную работу.

Приветствуют учителя, проверяют подготовку своих рабочих мест.

Записывают в тетрадях дату, классную работу.

Фронтальная

2

Актуализация знаний

Провожу устный опрос для актуализации знаний.

- Сформулируйте определения арккосинуса, арксинуса.

Предлагаю устно решить задания:

- Давайте предположим, о чем сегодня мы поговорим.

Отвечают на вопрос учителя:

1-ый: «Арксинус числа a∈[−1, 1] – это угол −90°≤α≤90° (−π/2≤α≤π/2), синус которого равен a»,

2-ой: «Арккосинус числа a∈[−1, 1] – это угол 0°≤α≤180° (0≤α≤π), косинус которого равен a».

Сверяются с тригонометрическим кругом, и дают ответы на примеры.

- О выражениях содержащих синусы и косинусы

Фронтальная

3

Изучение нового материала

- На данном уроке мы познакомимся с такими тригонометрическими функциями как косинус и котангенс. Ранее вы уже сталкивались с тангенсами и котангенсами. Скажите, где ранее вы слышали о них?

- Верно.

- Для начала рассмотрим числовую окружность в координатной плоскости. Дано произвольное число t. Ему соответствует единственная точка M на окружности. У точки есть две координаты.

Координату   назвали косинусом числа t координату  синусом числа t.

Вспомним, что тангенсом числа t  называется отношение синуса t к косинусу t. Котангенсом t  называется отношение косинуса t  к синусу t.

Определим связь между тангенсом и котангенсом.

Линии синусов и косинусов – это координатные оси. Линией тангенсов является касательная к окружности в точке A, параллельная оси y, линией котангенсов – касательная в точке B, параллельная оси x (рис. 2). 

Вычислим тангенсы и котангенсы основных углов. 

Предлагаю заполнить таблицу и увидеть закономерность

Направляю ход решения.

Значения тангенса и котангенса угла   найдем из прямоугольного равнобедренного треугольника  (рис. 3):

Изобразим полученные значения тангенсов на числовой окружности (рис. 4).

- Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке   Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов.

Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.

Приведем основные свойства функции у = tg х:

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида 

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = -y(x)), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция возрастает на промежутках вида   где к ∈ Z.

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + пk) = у(х).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты 

Функция у = ctg x

Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения   строится график функции у = ctg x.

Перечислим основные свойства функции у = ctg x:

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = пk, к ∈ Z.

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = -y(x)), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция убывает на промежутках вида (пk; п + пk), к ∈ Z.

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + пk) = у(x).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = пk.

- Давайте решим несколько заданий.

№14.1 (а,б), №14.4 (а,б), №14.2 (а), №14.3 (а,б),

Слушают учителя.

- На уроках геометрии при изучении тем связанных с треугольником.

Слушают учителя и смотрят на слайд, конспектируют

№14.1

а)

б)

№14.4

а)

б)

№14.2

а) Строим график функции на заданном интервале

На данном интервале нет ни наибольшего ни наименьшего значения, т.к

№14.3

а) изображаются обе части на графике, а решениями данного уравнения являются все числа вида:

б) изображаются обе части на графике, а решениями данного уравнения являются все числа вида:

Фронтальная

4

Постановка задания на дом

Прочитать параграф 14. Выполнить задания: №14.1 (в,г), №14.4 (в,г), №14.2 (б), №14.3 (в,г),

Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы

Индивидуальная

5

Рефлексия

Задаю вопросы по теме изученного урока

Отвечают на вопросы учителя

Фронтальная