ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ "Принцип Дирихле"

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная школа

«Образовательный центр» п.г.т. Рощинский

муниципального района Волжский Самарской области

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА

ЗАНЯТИЯ ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

_____по математике

^{(предмет)}

__5_

^(класс)

Учитель __Огурцова Алла Юрьевна________

^(ФИО)

Тема занятия	Принцип Дирихле.
Цель занятия	Создать условия для формирования чёткого понимания и правильного использования конструкции «по меньшей мере» (или равносильных ей «по крайней мере», «хотя бы»), умения строить отрицание высказывания, содержащего эти конструкции – для проведения доказательства, освоение и понимание идеи доказательства методом от противного при решении занимательных задач. Рассмотреть самый «неудобный » случай, принцип Дирихле.
Планируемый результат	Предметные умения	УУД
		Личностные	Регулятивные	Коммуникативные	Познавательные
	обучающиеся должны чётко понимать и правильно использовать конструкции «по меньшей мере» (или равносильных ей «по крайней мере», «хотя бы»), уметь строить отрицание высказывания, содержащего эти конструкции – для проведения доказательства, освоить и понимать идею доказательства методом от противного.	Получение учащимися опыта работы в группах, навыков самоанализа своей деятельности; делать правильный выбор. Формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; требовательное отношение к себе и своей работе. Воспитывать толерантное отношение друг к другу, умение выслушивать собеседника и принимать его точку зрения.	самостоятельно ставят новые учебные задачи путем задавания вопросов о неизвестном, планируют собственную деятельность, определяют средства для ее осуществления.	Умение слушать и слышать своих одноклассников, умение вступать в диалог и участвовать в коллективном обсуждении, умение точно выражать свои мысли. Уметь учитывать разные точки зрения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.	Извлечение необходимой информации из рассказа учителя и одноклассников. Умение задавать вопросы. Способствовать развитию приёмов умственной деятельности: классификация, сравнение, анализ, обобщение, внимание, память. Развивать математическую речь, вычислительные навыки, умения делать выводы, рассуждать и объяснять. Закрепляют навыки и умения применять алгоритмы при решении заданий на доказательство тех или иных утверждений.
Основные понятия	Формирование понимания и правильного использования конструкции «по меньшей мере» (или равносильных ей «по крайней мере», «хотя бы»), умения строить отрицание высказывания, содержащего эти конструкции – для проведения доказательства, освоение и понимание идеи доказательства методом от противного.
Межпредметные связи	История
Ресурсы (оборудование)	Раздаточный материал, презентация по теме, интернет.
Организация пространства	Фронтальная, работа в парах, работа в группах

Продолжительность занятия -80 мин

Этапы занятия

Задачи этапа

Деятельность

Формируемые УУД

учителя

обучающихся

1.Организационный момент

Создать благоприятный психологический настрой на работу

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Включаются в деловой ритм урока.

Личностные: самоопределение.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

2. Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся

Установить правильность и сознательность выполнения домашнего задания учащимися

На прошлом занятии мы с вами рассматривали задачи, где необходимо было «замостить» квадрат фигурками и вы получили на дом задачу: «Можно ли замостить квадрат 10х10 фигурками из 4 клеток?» Какие результаты вы получили?

Правильный ответ: НЕТ!

А как доказать, что нельзя?

Давайте раскрасим квадрат, как шахматную доску.

(слайд № 4 )

Сколько черных и белых клеток получается?

Сколько может быть белых и черных клеток в фигурках, которые покрывают доску?

Сколько может поместиться фигурок?

Так как черных клеток столько же, сколько и белых, то фигурок (т.е. фигурок с тремя белыми и одной черной клеткой) должно быть столько же, сколько и фигурок (фигурок с тремя черными и одной белой клеткой).

Но их 25 – нечетное число.

Учащиеся предлагают свои варианты решения задачи (возможны и ошибочные решения)

В результате диалога учащихся и учителя приходят к правильному решению и обоснованию невозможности «замостить» квадрат:

- по 50

- 3ч и 1б, 3б и 1ч

- 100:4=25(штук)

- Значит, если нам удастся замостить квадрат 10×10 фигурками , то их должно быть четное число.

- Противоречие, таким образом, невозможно замостить квадрат 10×10 фигурками

Познавательные: логический анализ объектов с целью выделения признаков.

Поиск и выделение необходимой информации.

Регулятивные:

выделение и осознание того, что уже пройдено.

Постановка учебной задачи на основе известного.

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог

Личностные:

самоопределение

3. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии.

Актуализация опорных знаний и способов действий.

Как вы понимаете фразу: «На дереве сидят, по меньшей мере, две вороны?»

Игра –соревнование.

Выходят по 2 человека с каждого ряда. Перед доской стоит 5 стульев. Верно ли, что, по меньшей мере, 2 человека должны будут сидеть на одном стуле?

Как это обосновать?

Ведь вы можете сесть на эти стулья разными способами. Например, сразу можете сесть по два человека или три. А как сидят на остальных стульях - неважно!

А какой случай самый сложный, неудобный?

Какие мы можем привести рассуждения, что бы убедительно показать верность ответа?

Когда мы говорим «по меньшей мере, две вороны», то мы имеем в виду, что ворон или две, или больше двух.

Верно.

Это когда на каждом стуле сидит людей поровну!

Допустим, что нет ни одного такого стула, на котором сидит хотя бы 2 человека! Это означает, что на каждом стуле сидит 1 человек или меньше! Но тогда на всех стульях сидит 5 человек или меньше, а у нас всего 6 человек!

Получили противоречие!

Значит, есть такой стул, на котором сидят хотя бы 2 человека!

Познавательные: умение формулировать вопросы к тексту, самостоятельно формулировать ответы с опорой на текст.

Познавательные: логические - анализ объектов с целью выделения признаков.

Личностные:

самоопределение

4.Целеполагание и мотивация

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.

Итак, новая тема нашего занятия: самый «неудобный» случай или принцип Дирихле.

Мы с вами должны рассмотреть решение логических задач.

Основные трудности в задачах на принцип Дирихле:

• чёткое понимание и правильное использование конструкции «по меньшей мере»

(или равносильных ей «по крайней мере», «хотя бы»);

• умение строить отрицание высказывания, содержащего конструкции «по меньшей мере», «хотя бы», и т.д. – для проведения доказательства;

• освоение и понимание идеи доказательства методом от противного.

Давайте познакомимся с математиком, чей метод (принцип) мы сегодня рассмотрим (Слайд №7)

Если есть возможность подключения к интернету, то перейти по ссылке (на слайде)

https://ru.wikipedia.org/wiki/Дирихле_

Дети называют вопросы, на которые в течение занятия хотят получить ответы

Дети читают информацию о  Дирихле Петере Густаве Лежёне

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: постановка вопросов.

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели; логические – формулирование проблемы.

Личностные:

самоопределение

Динамическая пауза.

Задача: выполнять упражнения по коррекции и профилактике нарушения зрения и осанки.

Физкультурная минутка составлена из упражнений для глаз и осанки: 1)повороты глазами влево – вправо без поворота головы.

2) наклоны туловища влево и вправо, а затем вперед и назад.

3) круговые движения согнутыми в локтях и приставленными к плечам руками.

4) хлопки над головой.

5) приседания.

6) ходьба на месте.

https://www.youtube.com/watch?v=abd1NWTWfEs

Учащиеся выполняют упражнения.

5. Усвоение новых знаний и способов усвоения.

Обсуждаем, что это этап разъяснения всего непонятного, а также тренинга и подготовки к самостоятельной работе (малая олимпиада). Устанавливаем цели работы на данном этапе, добиваясь при этом от детей личного целеполагания: разъяснить для себя всё, что не совсем понятно, потренироваться в решении тех задач, которые вызывают затруднения.

Посмотрите на листочек, где в виде памятки изложен принцип (метод) Дирихле.

Вот посмотрите на слайд и попробуйте, пере обозначить данные в задаче через клетки и зайцы

В классе 30 человек. В диктанте Витя сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну.

В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.

Решаем задачу №1

В математическом кружке занимается 14 пятиклассников.

Верно ли, что хотя бы двое из них родились в одном месяце?

Решаем задачу №2

Ребята обсуждали, что значит фраза: «хотя бы пять». Валя сказал: «То же самое, что и просто пять».

Ваня сказал: «Пять или больше».

Вася сказал: «Не меньше пяти».

Кто из ребят прав?

Решаем задачу №3

В каждом из 20 пеналов лежит либо 4, либо 5, либо 6 карандашей.

а) Верно ли, что найдется хотя бы 7 пеналов с одинаковым количеством карандашей?

б) Можно ли с уверенностью утверждать, что найдется хотя бы 8 пеналов с одинаковым количеством карандашей?

Ребята, у вас есть сейчас такая возможность показать насколько вы внимательны и дружны.

Работа в парах.

Задача.

В шкафу лежат вперемежку 5 пар светлых ботинок и 5 пар темных ботинок одинакового размера и фасона. Какое наименьшее количество ботинок надо взять наугад из шкафа, чтобы среди них была хоть одна пара ( на правую и левую ноги) одинакового цвета?

Ребята изучают материал на листочке (раздаточный материал)

- Что любую задачу можно перевести на язык «клетка-заяц»?

Дети читают условия задач и переименовывают объекты в клетки-зайцы.

-Здесь «зайцы» - ученики,  «клетки» - число сделанных ошибок. 

-елки - «зайцы» , количество иголок- «клетки» (всего лишь 600001 клетка с номерами от 0 до 600000) 

Здесь месяц рождения «клетка», дети – «зайцы»

Всего месяцев в году 12, и при стандартной формулировке задания , здесь нужно распределить 14 ребят по 12 месяцам: Если предположить, что нет хотя бы двух учащихся, родившихся в одном месяце, то в каждом месяце родился 1 человек или меньше, а т.к. месяцев 12, то всего ребят 12 или меньше. Но это невозможно, т.к. ребят по условию 14.

Ответ: Правы Ваня и Вася, а Валя неправ.

а) Нужно распределить 20 пеналов (зайцев) по трём категориям (клеткам) : содержащим соответственно по 4, по 5, и по 6 карандашей. Если предположить, что хотя бы семи пеналов с одинаковым количеством карандашей нет, то в каждой категории 6 пеналов или меньше, а т.к. категорий три, то всего пеналов 18 или меньше. Но этого не может быть, т.к. пеналов по условию 20. Итак, доказано, что хотя бы 7 пеналов с одинаковым количеством карандашей имеется.

б) Если пеналов с четырьмя и с пятью карандашами по 7, а пеналов с шестью карандашами 6, то всего пеналов 20, и нет восьми пеналов (или больше) с одинаковым количеством карандашей.

Возьмем 10 ботинок. Может оказаться, что среди них 5 светлых на одну ногу и 5 темных тоже на одну ногу. В этом случае, если взять 11-й ботинок,

он с одним из ранее взятых дает пару светлых или темных ботинок .

Ответ: 11 ботинок.

Познавательные:

использование математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов; использование доказательной математической речи;

работа с информацией, в том числе и с различными математическими текстами;

логические - формулирование проблемы, решение проблемы, построение логической цепи рассуждений; доказательство.

Регулятивные:

формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты.

Коммуникативные: постановка вопросов, инициативное сотрудничество.

формирование умений совместно с другими детьми в группе находить решение задачи и оценивать полученные результаты.

6. Математический практикум (Экспресс-Матбой)

Установление правильности и осознанности изучения темы.

Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.

Сейчас перейдем к выполнению заданий. Как обычно, работать будите в группах, затем подведем итоги нашего экспресс-Матбоя.

Выполняем задания:

1.В школе учатся 400 человек. Докажите, что хотя бы двое из них празднуют День Рождения в один день.

2. В коробке лежат шары красного, синего, жёлтого и зеленого цветов - всего 30 шаров. Можно ли с уверенностью утверждать, что найдется, по крайней мере, 8 шаров одинакового цвета?

3. В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы 2 ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?

4. В ковре размером 4х4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (дырки считать точечными)

Ребята выполняют задания в группах. Проверка решения (оппонирования) проводится по правилам «математического боя». По результатам Матбоя группе, которая получает больше всего баллов, вручается переходящий кубок.

Работа в группах

( в тетрадях)

-Предположим, что это не так. Тогда дни рождения всех ребят различны.

Но в году не может быть 400 различных дней (их либо 365, либо 366).

-Предположим, что это не так, то есть шаров каждого цвета 7 или меньше. Поскольку разных цветов 4, всего шаров в коробке 7 · 4 = 28 или меньше.

Но по условию в коробке 30 шаров. Противоречие!

Ответ: Можно.

-Обозначим 35 учеников за зайцев, а буквы за клетки. В  русском алфавите 33 буквы. Фамилии не могут начинаться на твердый и мягкий знак. Так как 3531, то по принципу Дирихле найдется 2  ученика, у которых фамилия начинается с одной буквы.

- Ковер 4х4 метра можно разрезать на 16 ковриков размером 1х1 метр. А так как дырок 15, то хотя бы один из них окажется без дырки.

Регулятивные: формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты Познавательные: формирование умений по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов. Коммуникативные: формирование умений совместно с другими детьми в группе сверять полученные результаты с образцом.

Личностные:

самоопределение

7. Подведение итогов занятия.

Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых

- Какую работу выполняли на уроке?

-Выполнение, каких заданий вызвало у вас затруднение?

-Почему?

-С чем это связано?

- С именем какого математика вы сегодня познакомились?

- Кто сможет сформулировать принцип?

Учащиеся отвечают на вопросы.

Регулятивные: оценка-осознание уровня и качества усвоения; контроль

Личностные:

самоопределение, нравственно-этическая ориентация

8. Информация о домашнем задании

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Учитель дает комментарий к домашнему заданию:

«Внутри правильного шестиугольника со стороной 1см расположено 7 точек. Докажите, что расстояние между двумя точками меньше, чем 1см.»

Ученики получают листочки с домашним заданием.

9. Рефлексия

Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

Познавательные: рефлексия.

Использованная литература

1. Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников. М: Просвещение, 1990

2. Козлова С.А., Рубин А.Г. Математика 5 класс. 2 часть. М : БАЛАСС, 2015

3. Коробицын Д.А., Жуков Г.К. Математический кружок. 5 класс. М: МГУ, 2015

4. https://www.youtube.com/watch?v=abd1NWTWfEs

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Дирихле

6. Анфимова Т. Б.. «Математика. Внеурочные занятия. 5- 6 классы». – ИЛЕКСА, Москва, 2015 г.

7. Шарыгин И.Ф., Шевкин А. В. «Задачи на смекалку 5- 6 классы».- Москва, «Просвещение», 2015 г.