Текст к защите проекта_Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Образовательный центр имени героя Советского союза Расковой Марины Михайловны» Энгельсского муниципального района Саратовской области

Проект на тему:

Арифметическая и геометрическая прогрессии

в окружающей нас жизни

Проект выполнила:

Ученица 9б класса

Махрова Екатерина

Руководитель:

Учитель математики

Затеева Валентина Павловна

Энгельс

Вступление

Тема проекта: «Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей

нас жизни»

Цель работы: Рассмотреть действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

Задачи:

• Выявить примеры практического применения арифметической и геометрической прогрессии.

• Обобщить и систематизировать знания по теме: «Прогрессии».

• Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение.

• Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

• Подбор задач из вариантов ОГЭ и их решение.

Актуальность проекта

В 9 классе мы изучаем прогрессии. Эти темы очень важные в курсе 9 класса. Они актуальны, так как задание по данным темам встречаются на ОГЭ и ЕГЭ. У учеников недостаточно высокий уровень решения задач данного типа.

На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Методы исследования проекта

• наблюдение

• сбор информации

• практическое применение

Прогрессия в природе: простейшие организмы

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две, каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии, из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Приведу пример:

Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений. Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока. Условия жизни бактерий разнообразны, также разнообразны и функции бактерий в нашей жизни. Если одну бактерию поместить в идеальные условия с обилием пищи, то за одни сутки её потомство должно составить 281 474 976 710 656 клеток. Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в природе.

Практическое использование интенсивности размножения бактерий

• В пищевой промышленности для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении.

• В фармацевтической промышленности для создания лекарств, вакцин.

• В сельском хозяйстве для приготовления силоса, корма для животных.

• В коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен.

Прогрессия в природе: сложные организмы

Все клетки в сложных живых организмах, в том числе и у человека, делятся в геометрической прогрессии, что позволяет организмам быстро обновлять отмирающие клетки, а человеку – долго не стареть.

Приведу пример:

На острове Ямайке водились в изобилии ядовитые змеи. Чтобы от них избавиться, решено было ввезти на остров птицу-секретаря, яростного истребителя ядовитых змей. Число змей действительно вскоре уменьшилось, зато необычайно расплодились полевые крысы, раньше поедавшиеся змеями. Крысы приносили такой ущерб плантациям сахарного тростника, что пришлось серьезно подумать об их истреблении. Известно, что врагом крыс является индийский мангуст. Решено было привести на остров 4 пары этих животных и предоставить им свободно размножаться. Не прошло и десяти лет, как мангусты уничтожили на нем крыс. Но увы - истребив крыс, мангусты стали питаться чем попало, сделавшись всеядными животными: нападали на щенят, козлят, поросят, домашних птиц и их яйца. Затем принялись за плодовые сады, хлебные поля, плантации. Жители приступили к уничтожению своих недавних союзников, но им удалось лишь до некоторой степени ограничить приносимый мангустами вред.

Прогрессии в банковских расчетах

В конце срока хранения сумма банковского вклада возрастает в несколько раз, так как она растёт в геометрической прогрессии.

В этом и состоит выгода хранения денег не дома, а в банке.

Приведу пример:

В начале XVIII века случилась прелюбопытнейшая история, которая имеет непосредственное отношение к теме нашего урока. Штабс-капитан Соловьев, роясь в ящиках старого письменного стола, обнаружил пачку фамильных бумаг, а среди них — сберегательную книжку своего предка, голландского боцмана Нахтигаля, который по приглашению Петра I в начале XVIII в. приехал в Россию, чтобы обучать морскому делу молодых российских дворян. Иностранный специалист, похоже, планировал вернуться на родину, потому что в неком амстердамском банке оставил вклад на 240 гульденов — приличную по тем временам сумму.

Боцман Нахтигаль был человеком принципиальным и дворянским детям спуску не давал. Обиженные родители нерадивых учеников решили извести строгого учителя и написали на него ложный донос Петру. Тот оказался скор на расправу и приказал отрубить несчастному голландцу руки и ноги. Приговор привели в исполнение. Но вскоре Петр получил доказательства невиновности осужденного. Царь тотчас же отправился к искалеченному Нахтигалю, пожаловал ему и всем его потомкам дворянство. Фамилия голландского боцмана переводится на русский как «соловей», вот и стал он родоначальником российских дворян Соловьевых.

Сберегательную книжку прадеда штабс-капитан Соловьев обнаружил где-то в 1910 г. Оказалось, что банк, которому Нахтигаль доверил свои сбережения, работает до сих пор. И наследник имел право получить вклад! Но когда подсчитали сложные проценты, которые набежали на прошедшие пару веков, оказалось, что сумма, которую банк должен выплатить, превышает национальный доход Голландии. Банкиры предложили Соловьеву 15 млн. гульденов отступного. Он было согласился, но тут вмешались российские власти, которые остро нуждались в валюте. Дело должны были рассматривать в Международном суде в Гааге, но началась Первая мировая война, потом в России случилась революция, и об этой истории забыли.

Финансовые пирамиды

Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег.

Финансовая пирамида – это организация, прибыль которой формируется за счет постоянного поступления новых денежных средств при отсутствии какой-либо реальной деятельности или продукта. Если же кратко – это мошенническая организация, которая предлагает разместить инвестиции под «драконовский» процент прибыли, гарантируя быстрый заработок. Продукт или услугу компания не производит, но обеспечивает прибыль ранним участникам за счет поздних. Таким образом идет банальная перекачка денег от одних рук в другие.

Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. Самой известной и некогда надежной инвестиционной компанией в России 90-х годов, которая по факту оказалась мошеннической является финансовая пирамида «МММ» Сергея Мавроди.

Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234 375 000 человек.

Практическая часть проекта

Арифметическая прогрессия в жизни человека

Прогрессия в строительстве

Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

Прогрессия в медицине

Больной может принимать лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий

Прогрессия в спорте

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий.

Прогрессия в литературе

Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

  «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

М. Ю. Лермонтов

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

«бУря  мглОю  нЕбо  крОет»

Прогрессия 1; 3; 5; 7.

А.С. Пушкин.

Прогрессии в ОГЭ. Проблема?

Вопрос, как решать прогрессию, ставит поначалу в тупик многих учеников. Быть может, это происходит оттого, что кажется сложным само название, а может, оттого, что формулы арифметической и геометрической прогрессии выглядят устрашающе.

На самом деле, прогрессию решать совсем несложно, если хорошо понять, что это такое.

Задачи из вариантов ОГЭ

1. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −1024; −256; −64; … Найдите сумму первых 5 её членов.

РЕШЕНИЕ.

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

q = = =

Найдём четвёртый и пятый члены прогрессии:

b₄ = b₃q = -64 ∙ = -16, b₅ = b₄q = -16 ∙ = -4

Cумма первых пяти первых членов прогрессии равна        

  -1024-256-64-16-4=-1364

Ответ: −1364

1. Дана арифметическая прогрессия: -4;-2;0… Найдите сумму первых десяти

РЕШЕНИЕ.

Определим разность арифметической прогрессии:

d = a₂ – a₁ = (-2) – (-4) = 2

Сумма первых k-ых членов может быть найдена по формуле 

S_k =

Необходимо найти S₁₀, имеем:

S₁₀ = ∙ 10 = (-8+18) ∙ 5 = 50

Ответ: 50

1. Дана арифметическая прогрессия (a_n), для которой a₁₀ = 19, a₁₅ = 44. Найдите разность прогрессии.

РЕШЕНИЕ.

Член арифметической прогрессии с номером n вычисляется по формуле

a_n = a₁ + d (n-1)

Зная, что a₁₀ = 19, b₁₅ = 44, получаем систему уравнений. Вычтем первое уравнение из второго и решим систему:

Ответ: 5

Вывод проекта

Выдвинув гипотезу, что прогрессия широко применяется в жизни человека, мы увидели, что прогрессии в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.

Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

Используемая литература

• Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы - М.: Просвещение, 1990г -224сю;

• Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с..

• http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

• http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op

• http://festival.1september.ru/articles/568100/

• Открытый банк заданий ФИПИ