Текст математической олимпиады техникума среди обучающихся 1 курса 2013-2014 учебный год

Текст математической олимпиады техникума

среди обучающихся 1 курса

2013-2014 учебный год

Задача 1.

(3 балла)

Найдите значение выражения

при .

Решение.

Применяя формулу ( х – у )( х + у ) = х² – у² последовательно для последних двух множителей, в результате получим:

(1-)(1+) = 1 - a.

При а = 2003 получим 1– а = 1 – 2003 = – 2002.

Ответ: – 2002.

Задача 2.

(3 балла)

Сколько цифр содержит число ?

Решение.

=()==1 250 000 000 000.

Задача 3.

(4 балла)

Маша, Люда, Женя и Катя умеют играть на различных инструментах (виолончели, рояле, гитаре и скрипке), но только на одном. Они же владеют различными иностранными языками ( английским, французским, немецким и испанским ), но каждая только одним. Известно, что девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански; Люда не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка; Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка; Женя знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

Решение.

Задача имеет 2 варианта решения :

1) Люда играет на гитаре и знает испанский язык;

Маша играет на рояле и знает немецкий язык;

Женя играет на виолончели и знает французский язык;

Катя играет на скрипке и знает английский язык.

2) Маша играет на гитаре и знает испанский язык;

Люда играет на рояле и знает немецкий язык;

Женя играет на виолончели и знает французский язык;

Катя играет на скрипке и знает английский язык.

Задача 4.

(4 балла)

Решите уравнение -14+56-64=0

Решение : -14+56-64 = 0.

Пусть = t, t≥0. Тогда уравнение примет вид :

- 14+ 56 t- 64 = 0,

(- 64)+( - 14+ 56 t) = 0,

(t-4)( +4 t+16) - 14t (t-4) = 0,

(t-4)(+4 t+16- 14t) = 0,

(t-4)( t+16) = 0,

t = 4 или t+16 = 0,

t = 8 или t = 2.

Итак, х = 2, х = -2, х = 2 х = - 2 х = х = - .

Ответ : - 2-2, - 2, 2

Задача 5.

(6 баллов)

Доказать, что квадрат высоты равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равен произведению ее оснований.

Решение.

Так как в четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, то