Тела вращения .

Тела вращения

ЦИЛИНДР

Цилиндр – это тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

L 1

ll L1 1

O1

O1

Основания

цилиндра

образующие

Боковая

поверхность

O

O

r

L

L

Цилиндрическая поверхность

Ось цилиндра

Цилиндр

• Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра.
• Круги - основания цилиндра .
• Образующие цилиндрической поверхности – образующие цилиндра.
• Прямая ОО 1 – ось цилиндра - прямая проходящая через центры оснований
• Радиус цилиндра- радиус основания

3

Высота цилинд ра

Свойства цилиндра

• Основания цилиндра равны
• Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях
• Образующие цилиндра параллельны и равны

C

B

A

D

Радиус цилиндра

Виды цилиндров

прямой

наклонный

Цилиндр называется прямым, если образующие перпендикулярны основанию.

В прямом цилиндре : ось=высота=образующая.

Высота цилиндра

Цилиндр полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB

C

B

• Длина образующей - высота цилиндра.

• Радиус основания – радиус цилиндра.

A

D

Радиус цилиндра

6

СЕЧЕНИЯ

Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.

Осевое сечение цилиндра

7

СЕЧЕНИЯ

Сечение, параллельное оси

h

r

h

ПЛОЩАДЬ

B

S бок = 2πRh

A

B

B 1

A 1

2пr

A

9

• Площадь боковой поверхности цилиндра равняется

S б  = 2π RH .

• Площадь полной поверхности цилиндра равна

S п  =  S б + 2 S  =  

=2π R  ( R  +  H ).

• Длина окружности основания цилиндра равна 8π см, а диагональ осевого сечения 17см. Найдите образующую цилиндра .
• Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 90 0 . Радиус цилиндра равен 6см. Найдите площадь полученного сечения. Если высота цилиндра 5см.
• Разверткой боковой поверхности цилиндра является квадрат площадью 100π см 2 . Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
• Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, равен 6см и образует с плоскостью нижнего основания угол 60 0 . найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Самостоятельная работа

• Радиус основания 2м, высота 3м. Найти диагональ осевого сечения
• Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.
• Цилиндрический паровой котел имеет 0,7и в диаметре; длина его 3,8м. Как велико давление пара на полную поверхность котла, если на 1см 2 пар давит с силой 10кг?

• Осевое сечение квадрат, площадь которого 36см 2 . Найдите площадь основания.
• Высота цилиндра 8дм , радиус основания 5дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении квадрат. Найти расстояние этого сечения от оси.
• Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65см имеет высоту 18м. Сколько квадратных метров жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% всего требующегося количества жести?

Конус -

- это тело, которое состоит из круга- основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину с основанием

9

конус

9

Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ

9

Осевое сечение конуса.

• Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого- диаметр основания конуса, а боковые стороны- образующие конуса.

Это сечение- осевое.

9

Сечение конуса плоскостью

• Сечение конуса плоскостью q, перпендикулярной к его оси.

9

Площадь поверхности конуса

• За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развертки.
• Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
• S БП = π r l

• Площадь полной поверхности конуса- сумма площадей боковой поверхности и основания.
• S ПП = π r (l+r)

9

Усечённый конус

9

Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны CD

9

Площадь боковой поверхности усечённого конуса.

• Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую :
• S БП = π (r + r 1 ) l

9

• Радиус основания конуса равен 8см, а его образующая – 10см. Найдите: 1) высоту конуса; 2) площадь осевого сечения.
• Хорда основания конуса равна 6см и стягивает дугу 90 0 . высота конуса равна 4см. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину конуса и данную хорду.
• Площади оснований усеченного конуса- πсм 2 и 16πсм 2 , а его образующая равна 5 см. найдите площадь осевого сечения.
• Конусообразная палатка высотой 3,5м с диаметром основания в 4м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
• Сколько олифы потребуется для окраски 100 ведер конической формы, если диаметр ведра 25см и 30см, а образующая 27,5см и если на 1м 2 требуется 150г олифы?