Тела вращения. Конус

ТО 207 на 11.10.21 г. законспектировать лекцию и выполнить тест! Прислать на почту: nata.vodiahina2014@yandex.ru

КОНУС.

Определение. Конусом (круговым конусом), называется тело, которое состоит из круга- основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания- образующие конуса.

Определение Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

К онус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

т. S – вершина конуса

круг (О,ОА) – основание конуса

SA=SB – образующие конуса

Отрезок SO – высота конуса

Прямая SO – ось конуса

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Т еорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

Определение. Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между его основанием и сечением, параллельным основанию. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры- высотой усеченного конуса.

h — высота усеченного конуса,

r₁ и r₂ — радиусы основания усеченного конуса, l — образующая усеченного конуса.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция.

Задача №1. Высота конуса равна 15 см², а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Решение:

Из ∆РОВ по теореме Пифагора

Ответ:

Задача № 2. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите площадь основания конуса, если = 30 .

Р ешение:

SOB – прямоугольный, в нем катеты – SO, OB, гипотенуза – SB, = cos30 , ОВ = R (радиус основания) ОВ= SB∙ = 6 см.

В основании конуса лежит круг: S = R , S = (см )

Ответ: (см )

Задача № 3. В усеченном конусе диагональ осевого сечения равна 10 см, радиус меньшего основания 3 см, высота 6 см. Найдите радиус большего основания.

Решение:

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция. ВД- диагональ данной трапеции. Из вершины В опустим высоту. ВК=ОО₁=6см. По теорема Пифагора, из ∆ДВК- прямоугольный, найдем ДК. см. ДК=8 см. ДК=ДО₁+О₁К, О₁К=ОВ= 3 см.

Следовательно ДО₁= ДК- О₁К=8-3=5 см.

Ответ: 5 см.

Тест по теме: «Конус»

Вариант №1

1. Конус может быть получен вращением…

1) равностороннего треугольника вокруг его стороны;

2) прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов;

3) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.

2. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле…

1) 2) 3)

3. Сечением конуса плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, является…

1) треугольник; 2) прямоугольник; 3) круг.

4. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящей через вершину конуса, равно длине отрезка…

1) OB; 2) OK; 3) OM.

5. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой…

1) сегмент; 2) сектор; 3) слой.

6. Площадь полной поверхности конуса равна…

1) 2) 3)

7. Наибольший периметр имеет сечение конуса, проходящее через его вершину и хорду, стягивающую дугу в…

1) 60°; 2) 90°; 3) 180°.

8. Через вершину конуса и хорду ВС проведена плоскость.

Тогда угол между этой плоскостью и плоскостью основания это угол…

1) ABO; 2) AMO; 3) BAC.

Тест по теме: «Конус»

Вариант №2

1. Конус может быть получен вращением…

1) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы;

2) равнобедренного треугольника вокруг медианы, проведённой к основанию;

3) тупоугольного треугольника вокруг одной из его сторон.

2. Площадь боковой поверхности конуса нельзя вычислить по формуле…

1) 2) 3)

3. Сечением конуса плоскостью, проходящей вершину конуса и хорду основания, не может быть…

1) прямоугольный треугольник;

2) равнобедренный треугольник;

3) разносторонний треугольник.

4. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящей через вершину конуса, равно длине отрезка…

1) OF; 2) OK; 3) OB.

5. а – образующая конуса, b – высота конуса.

Тогда верно, что…

1) a b; 2) a = b; 3) a b.

6. Площадь полной поверхности конуса, у которого осевым сечением является равносторонний треугольник со стороной а, равна…

1) 2) 3)

7. Наибольшую площадь имеет сечение конуса, проходящее через его вершину и хорду, стягивающую дугу в…

1) 60°; 2) 90°; 3) 180°.

8. Через вершину конуса и хорду AB проведена плоскость.

Тогда угол между этой плоскостью и плоскостью основания – это угол…

1) ACB; 2) OAC; 3) CKO.