Тема 4. Показательная функция

Степень с действительным показателем

Притча:

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ. Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку». И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.

Действительные числа

Число, которое можно записать в виде отношения , где m - целое число, а n - натуральное число, называют рациональным числом.

Любое рациональное число можно представить в виде конечной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.

Например,

Бесконечная десятичная дробь, это десятичная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , называют иррациональными числами.

Это, например, числа

Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Например,

Рациональные числа и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой, которую называют числовой прямой.

Для числовых множеств используются обозначения: 

N - множество натуральных чисел; 

Z - множество целых чисел; 

Q - множество рациональных чисел; 

R - множество действительных чисел. 

Понятие степени с действительным показателем

1. Степень с натуральным показателем:

,

Если то

Если то – не определяется.

1. Степень с целым отрицательным показателем:

1. Степень с рациональным показателем

1. Степень с иррациональным показателем

Пусть . Степенью числа а с иррациональным показателем s называется такое число b, что при любых рациональных значениях r и t, удовлетворяющих неравенству . Это число b обозначается .

Пусть . Степенью числа а с иррациональным показателем s называется такое число b, что при любых рациональных значениях r и t, удовлетворяющих неравенству . Это число b обозначается .

Для любого иррационального числа s верно равенство .

При положительном основании понятие степени определено для любого рационального и для любого иррационального показателя, т.е. для любого действительного показателя.

При этом все действия со степенями с произвольными действительными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с рациональными показателями.

Для любых положительных значений a и b при любых действительных n и m верны равенства:

Решение задач

Пример. Упростите выражения 1) ; 2)

Решение

Ответ. 1)  ; 2) x – y.

Пример. Вычислить:

Решение:

Ответ: 5.

Пример. Упростить выражения: .

Ответ: ab.

Пример. Упростить выражения:

Решение:

Ответ: 2a

Показательная функция, ее свойства и график.

Исследование показательных функций

Рассмотрим значение выражения , где а – постоянная, , а x – переменная. Это выражение имеет смысл при любом действительном значении х, поэтому его естественной областью определения является множество всех действительных чисел.

Показательной функцией называется функция вида , где а – постоянная, .

Область определения показательной функции – это естественная область определения выражения , т.е. множество всех действительных чисел.

Графики и свойства показательных функций зависят от основания степени в записи показательной функции, т.е. от а.

График показательной функции , а1

Построим график показательной функции при а = 2, т.е. .

В этой же системе координат построим графики функций

и

Тогда график показательной функции имеет вид

Свойства показательной функции при

1. Область определения – все действительные числа.

2. Множество значений функции – все положительные числа.

3. Не является ни четной, ни нечетной.

4. Не является периодической.

5. Наибольшего и наименьшего значений не имеет.

1. График показательной функции пересекается с осью ординат в точке и не пересекается с осью абсцисс.

2. Нулей функции не имеет.

3. Показательная функция принимает положительные значения на всей области определения; все точки графика лежат выше оси Ох в I и II координатных углах.

4. Возрастает на всей области определения.

График показательной функции ,

Построим график показательной функции при , т.е. .

В этой же системе координат построим графики функций

и

Тогда график показательной функции имеет вид

Свойства показательной функции при

1. Область определения – все действительные числа.

2. Множество значений функции – все положительные числа.

3. Не является ни четной, ни нечетной.

4. Не является периодической.

5. Наибольшего и наименьшего значений не имеет.

1. График показательной функции пересекается с осью ординат в точке и не пересекается с осью абсцисс.

2. Нулей функции не имеет.

3. Показательная функция принимает положительные значения на всей области определения; все точки графика лежат выше оси Ох в I и II координатных углах.

4. Убывает на всей области определения.

Применение показательной функции

1. Диагностика заболеваний. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

1. Барометрическая формула. При постоянной температуре давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону , где p₀ – давление на уровне моря (h = 0), p – давление на высоте h, H - константа, зависящая от температуры воздуха.

1. Формула разрядки конденсатора. Если начальное напряжение на конденсаторе равно U0, то конденсатор будет разряжаться по закону , где t – время, в течение которого разряжается конденсатор, R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.

1. Радиоактивный распад. Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества. Промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов, называется периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ.

Н апример, за время равное лет при распаде урана -238 распадается половина от начального числа атомов, т.е. при увеличении времени на 4,5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза.

Задание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции.

Ответ:

1. Органический рост. Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год, т.е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз.

Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции.

Ответ:

История числа е

Ч исло появилось сравнительно недавно.

Его иногда называют "неперовым числом" в честь изобретателя логарифмов шотландского математика Джона Непера (1550-1617), однако необоснованно, так как нет твёрдых оснований для утверждения, что Непер имел о числе е чёткое представление.

Впервые обозначение "е" ввёл Леонард Эйлер (1707-1783). Он также вычислил точные 23 десятичные знака этого числа, использовав представление числа е в виде бесконечного числового ряда:

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела: . Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы.

Б укву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа "Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически" 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential ("показательный", "экспоненциальный"). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой "свободной" буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии.

В российских гимназиях для запоминания приближенного значения числа е использовали двустишие:

«Помнить е – закон простой:

Два, семь, дважды Лев Толстой»

Поскольку 1828 – год рождения великого русского писателя Л.Н. Толстого.

Работаем устно

Задание 1. Укажите график функции и

Исследование функции

Задание. Исследовать функцию   и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

2) Четность, нечетность.

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью   :

то есть точки 

б) с осью   : в данной точке функция неопределенна.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует:   для любого   из области определения функции;   не существует при   и   .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

7) Эскиз графика.

Показательные уравнения.

Решение показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений

1. Уравнение - это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

2. Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.

3. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

4. Функция, заданная формулой у = а^х (где а 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).

E (y) = R₊ (область значений – все положительные числа).

При а 1, функция возрастает. При 0

Показательные уравнения

Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Самое простое показательное уравнение имеет вид

При решении показательных уравнений полезно будет следствие из теоремы о свойствах показательной функции:

Пусть . Если степени с основанием равны, то их показатели равны, т.е. если , то .

Примеры показательных уравнений:

5^х+2 = 125

3^х·2^х = 8^х+3

3^2х+4·3^х-5 = 0

Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа. В показателях степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например: 2^х = 3+х - это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.

Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.

Решение простейших показательных уравнений

Основными методами решения показательных уравнений являются:

• метод группировки и разложения на множители;

• замена переменной.

Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:

3^х = 3²

Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:

3^х = 3²

х = 2

Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!

Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение.

Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов.

Скажем, в уравнениях: 2^х+2^х+1 = 2³, или 2·2^х = 2⁴ двойки убирать нельзя!

Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от показательных выражений к более простым уравнениям.

Теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева - справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду. По правилам математики, разумеется.

Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.

Решение простых показательных уравнений. Примеры

При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится.

К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.

Посмотрим, как это делается на практике?

Пусть нам дан пример:

2^2х - 8^х+1 = 0

Первый взгляд - на основания.  Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что

8 = 2³

Вполне можно записать 8^х+1 = (2³)^х+1

Если вспомнить формулу из действий со степенями: (аⁿ)^m = a^nm, то вообще отлично получается:

8^х+1 = (2³)^х+1 = 2^3(х+1)

Исходный пример стал выглядеть вот так 2^2х - 2^3(х+1) = 0

Переносим 2^3(х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:

2^2х = 2^3(х+1)

Вот, практически, и всё. Убираем основания:

2х = 3(х+1)

Решаем этого монстра и получаем

х = -3

Это правильный ответ.

В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.

Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет.

Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся?

Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами. Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний.

Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки. Смотрим пример:

3^2х+4 -11·9^х = 210

И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое! Потому, что:

9^х = (3²)^х = 3^2х

По тем же правилам действий со степенями:

3^2х+4 = 3^2х·3⁴

Вот и отлично, можно записать:

3^2х·3⁴ - 11·3^2х = 210

Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик?

Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:

Не знаешь, что нужно - делай, что можно!

Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3^2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:

3^2х(3⁴ - 11) = 210

Что ещё можно сделать? Посчитать выражение в скобках:

3⁴ - 11 = 81 - 11 = 70

Пример становится всё лучше и лучше!

70·3^2х = 210

Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:

3^2х = 3

3^2х = 3¹

2х = 1

х = 0,5

Это окончательный ответ.

Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.

Замена переменной в решении показательных уравнений.

Пример. Решим уравнение:

4^х - 3·2^х +2 = 0

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.

4^х = (2²)^х = 2^2х

Получаем уравнение:

2^2х - 3·2^х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2^х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!

Итак, пусть

2^х = t

Тогда 2^2х = 2^х2 = (2^х)² = t²

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

t² - 3t+2 = 0

Решаем через дискриминант, получаем:

t₁ = 2

t₂ = 1

Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t₁:

t₁ = 2 = 2^х

Стало быть,

2^х = 2

х₁ = 1

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:

t₂ = 1 = 2^х

2^х = 1

Слева 2^х, справа 1. Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единица - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:

1 = 2⁰

2^х = 2⁰

х₂ = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

х₁ = 1

х₂ = 0

Это ответ.

При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:

2^х = 7

Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Для этого введено понятие логарифма и

x = log₂7

Практические советы

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Смотрим, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Решение систем показательных уравнений

Решить системы уравнений: 

 Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.

 Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:

2^х+2^x+2=10, применяем формулу: a^x+y=a^x∙a^y.

2^x+2^x∙2²=10, вынесем общий множитель 2^х за скобки:

2^х(1+2²)=10 или 2^х∙5=10, отсюда 2^х=2.

2^х=2¹, отсюда х=1. Возвращаемся к системе уравнений.

Ответ: (1; 2).

Индивидуальная работа № 1

Показательные уравнения.

Решение показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений

Показательные уравнения

Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Самое простое показательное уравнение имеет вид

При решении показательных уравнений полезно будет следствие из теоремы о свойствах показательной функции:

Пусть . Если степени с основанием равны, то их показатели равны, т.е. если , то .

Основными методами решения показательных уравнений являются:

• метод группировки и разложения на множители;

• замена переменной.

Практические советы

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Смотрим, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Уравнения, решаемые приведением к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней

Решить уравнение:

а) .

Проверка: ; ; = ;

Ответ: х = ;

б) .

Решение: ; ; ;

; ; ;

(х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х²+5х–3х–15=х²+25х–7х–175; 16х=160; х=10.

Проверка: х=10. ; ; ;

; = – верно.

Ответ: х=10;

Уравнения вида P(a^x)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним

Решить уравнение:

а) .

Решение: .

Обозначаем: = y; 3y²–10y+3=0; D=25–9=16; y₁=3; y₂= .

Получаем: 1. =3; ; ; х₁=2.

 2. = ; ; ; х₂=–2.

Проверка: 1. ; 3×9–10×3+3=0 – верно.

2. ; ; – верно.

Ответ: х=2; х=–2;

б) .

Решение: . Пусть 4^х=y, y²+12y–64=0,

y_1,2=–6± =–6±10,

y₁=4; y₂=–16 (п.к.), т.к. 4^х 0, 4^х=4 Þ х=1.

Проверка: ; 16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно.

Ответ: х=1;

Уравнения, решаемые методом вынесения общего множителя за скобки

а) .

Решение: ; ; ;

; ; ; х=0.

Проверка: ; ; 0,992=0,992 – верно.

Ответ: х=0;

б) .

Решение: ; ;

; ; х=0.

Проверка: ; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно.

Ответ: х=0;

в) .

Решение: ; ;

; ; ; ; х=2.

Проверка: ; ; 2–8+3=–3;

–3=–3 – верно.

Ответ: х=2.

Примеры выполнения заданий, содержащих показательные уравнения

Пример 1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (0; 1); 2)(1;2); 3) (2; 3); 4) (3; 4).

Решение. Используя свойство степени (а^х)^у = а^ху, получаем:

Так как = 5^-1, то 5^2(З-х) = 5^-1 Степени с одинаковым основанием равны, значит, равны их показатели: 2(3 - х) = -1; 6 - 2х = -1, - 2х = -7, х = 3,5

Поскольку 3,5 (3; 4), верным является ответ №4.

Ответ: 4.

Пример 2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

2 ^х-1 + 2 ^х+1 = 20.

1) (4; 5); 2) [3; 4]; 3) (2; 3); 4) [1; 2].

Решение. 2 ^х-1 + 2 ^х+1 = 20; + 2·2^х = 20; 2^х + 4∙2^х = 40; 5 ·2^х = 40; 2^х = 8; х = 3;

х [3;4].

Ответ: 2.

Пример 3. Найдите произведение корней уравнения = 243.

Решение. = 243; = 3⁵; х ² - 1 = 5;

Ответ: 1

Индивидуальная работа № 2

Показательные неравенства и их решение

Показательные неравенства

Показательными неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в показателе степени.

При решении показательных неравенств полезно будет следствие из теоремы о свойствах показательной функции:

Пусть . Если , то .

Пусть . Если , то .

При решении показательных неравенств, так же как и при решении показательных уравнений, приходится использовать представление обеих частей неравенства в виде степени с одним и тем же основанием, разложение одной из частей неравенства на множители, введение новой переменной.

Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции :

эта функция возрастает при а 1 и убывает при 0

Полезные соотношения

