Тема 8. Тела вращения

Сфера и шар.

Сечение сферы и шара плоскостью.

Касательная плоскость к сфере

Шар или сфера?

Сфера

Сферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки пространства.

Даная точка называется центром сферы.

Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.

Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр.

Шар

Шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.

Радиусом, хордой и диаметром шара называется радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей шара.

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Сфера и плоскость не имеют общих точек

1. Сфера и плоскость имеют множество общих точек

В этом случае плоскость называется секущей плоскостью сферы (шара).

Сечение сферы плоскостью есть окружность.

Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара) называется диаметральной плоскостью.

Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Сечения сферы

1. С фера и плоскость имеют одну общую точку

Если плоскость и сфера имеют одну обую точку, то такая плоскость называется касательной плоскостью к сфере (шару).

Касательная плоскость к сфере

Касательная плоскость к сфере (шару)

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной к сфере (шару).

Признак касательной плоскости к сфере

Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.

Свойство касательной плоскости к сфере

Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.

Решение задач

Задача 1. Точки А и В лежат на сфере с центром О АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что а) если М – середина отрезка АВ, то OM перпендикулярно AB; б) если OM перпендикулярно AB, то М – середина отрезка АВ.

Задача 2. Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат сфере радиуса К с центром О. Найдите а) ОМ, если R=50 см, АВ=40 см.

З адача 3. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Задача 4. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см.

Задача 5. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15см и 20см, касаются сферы радиуса 10см. Найдите расстояние о плоскости сферы до плоскости ромба.

Задача 6. Вершины треугольника АВС лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=6см, ВС=8см, АС=10см.

Задача 7. Вершины прямоугольника АВСD лежат на сфере радиуса 10см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16см.

Сфера и шар.

Сечение сферы и шара плоскостью.

Касательная плоскость к сфере

Шар или сфера?

Сфера

Сферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки пространства.

Даная точка называется центром сферы.

Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.

Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр.

Шар

Шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.

Радиусом, хордой и диаметром шара называется радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей шара.

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Сфера и плоскость не имеют общих точек

1. Сфера и плоскость имеют множество общих точек

В этом случае плоскость называется секущей плоскостью сферы (шара).

Сечение сферы плоскостью есть окружность.

Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара) называется диаметральной плоскостью.

Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Сечения сферы

1. С фера и плоскость имеют одну общую точку

Если плоскость и сфера имеют одну обую точку, то такая плоскость называется касательной плоскостью к сфере (шару).

Касательная плоскость к сфере

Касательная плоскость к сфере (шару)

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной к сфере (шару).

Признак касательной плоскости к сфере

Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.

Свойство касательной плоскости к сфере

Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.

Решение задач

Задача 1. Точки А и В лежат на сфере с центром О АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что а) если М – середина отрезка АВ, то OM перпендикулярно AB; б) если OM перпендикулярно AB, то М – середина отрезка АВ.

Задача 2. Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат сфере радиуса К с центром О. Найдите а) ОМ, если R=50 см, АВ=40 см.

З адача 3. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Задача 4. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см.

Задача 5. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15см и 20см, касаются сферы радиуса 10см. Найдите расстояние о плоскости сферы до плоскости ромба.

Задача 6. Вершины треугольника АВС лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=6см, ВС=8см, АС=10см.

Задача 7. Вершины прямоугольника АВСD лежат на сфере радиуса 10см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16см.

Сфера и шар.

Сечение сферы и шара плоскостью.

Касательная плоскость к сфере

Шар или сфера?

Сфера

Сферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки пространства.

Даная точка называется центром сферы.

Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.

Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр.

Шар

Шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.

Радиусом, хордой и диаметром шара называется радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей шара.

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Сфера и плоскость не имеют общих точек

1. Сфера и плоскость имеют множество общих точек

В этом случае плоскость называется секущей плоскостью сферы (шара).

Сечение сферы плоскостью есть окружность.

Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара) называется диаметральной плоскостью.

Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Сечения сферы

1. С фера и плоскость имеют одну общую точку

Если плоскость и сфера имеют одну обую точку, то такая плоскость называется касательной плоскостью к сфере (шару).

Касательная плоскость к сфере

Касательная плоскость к сфере (шару)

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной к сфере (шару).

Признак касательной плоскости к сфере

Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.

Свойство касательной плоскости к сфере

Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.

Решение задач

Задача 1. Точки А и В лежат на сфере с центром О АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что а) если М – середина отрезка АВ, то OM перпендикулярно AB; б) если OM перпендикулярно AB, то М – середина отрезка АВ.

Задача 2. Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат сфере радиуса К с центром О. Найдите а) ОМ, если R=50 см, АВ=40 см.

З адача 3. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Задача 4. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см.

Задача 5. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15см и 20см, касаются сферы радиуса 10см. Найдите расстояние о плоскости сферы до плоскости ромба.

Задача 6. Вершины треугольника АВС лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=6см, ВС=8см, АС=10см.

Задача 7. Вершины прямоугольника АВСD лежат на сфере радиуса 10см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16см.

Сфера и шар.

Площадь поверхности сферы.

Объем шара

Сфера

Сферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки пространства.

Шар

Шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.

Площадь сферы

Площадь сферы равна , где R – радиус сферы.

За площадь части сферы, образованной при повороте какой-нибудь дуги полуокружности вокруг диаметра на 360º, принимается число, к которому стремится площадь поверхности, образуемой при повороте на 360º вокруг того же диаметра правильной вписанной ломанной, когда ее звенья неограниченно уменьшаются.

Пусть секущая плоскость перпендикулярна диаметру сферы радиусом R. Тогда площадь каждой из частей, на которые сфера разбивается секущей плоскостью, равна произведению длины большой окружности данной сферы на длину Н соответствующего отрезка диаметра: S = 2πRH.

Объем шара

З а объем шара принимается число, к которому стремится объем тела, полученного при повороте на 360º правильного многоугольника, вписанного в круг, при повороте которого на 360º получен данный шар, когда число сторон многоугольника неограниченно возрастает.

Объем шара радиусом R вычисляется по формуле .

Цилиндр.

Площадь поверхности и объем цилиндра

Рассмотрим α || β.

Множество отрезков образующих определяют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности.

Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная прямыми, перпендикулярными окружности. Эти прямые называются образующими цилиндрической поверхности.

Цилиндр

Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая ОО₁ - осью цилиндра.

Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндра.

Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой.

Осью цилиндра называется отрезок ОО₁, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.

Высота цилиндра – это перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Получение цилиндра

Способ 1. Цилиндр может быть получен путем вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. Боковая поверхность образуется вращением стороны СD, а основания – вращением сторон ВС и АD.

Способ 2. Цилиндр может быть получен путем вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. Боковая поверхность образуется вращением стороны СD, а основания – вращением сторон ВС и АD.

Способ 3. Цилиндр может быть получен путем вращения прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины противоположных сторон.

Сечения цилиндра

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.

Секущая плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его по кругу.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь поверхности цилиндра состоит из площади оснований цилиндра и площади боковой поверхности

Площадь каждого основания цилиндра равна πR².

Площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра – площадь ее развертки.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту

Объем цилиндра

За объем цилиндра, принимается число, к которому стремится объем правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон ее оснований неограниченно возрастает

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту

Р ешение задач

Задача 1.

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120⁰. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна h, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d.

З адача 2

Через образующую цилиндра АА₁ проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен φ .

З адача 3.

Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого 24 см. Найдите радиус основания цилиндра и площадь боковой поверхности.

З адача 4.

Через образующую цилиндра проведено два сечения, одно из которых осевое. Площадь меньшего из сечений равна 40см². Угол между плоскостями 30⁰. Найти площадь второго сечения.

Конус.

Поверхности и объем конуса

Рассмотрим окружность L. ОР ⏊ α.

Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми называется конической поверхностью. Сами прямые называются образующими конической поверхности.

Конус

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Основанием конуса называется круг, границей которого служит окружность.

Вершиной конуса называется вершина конической поверхности.

Образующей конуса называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей конической поверхности, расположенный между его вершиной и основанием.

Боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса.

Высотой конуса называется отрезок АО (или его длина), где точка А – вершина конуса, а точка О – центр его основания, прямая АО называется осью конуса.

Получение конуса

Способ 1.

Конус может быть получен путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

С пособ 2.

Конус может быть получен путем вращения равнобедренного треугольника вокруг его высоты, опущенной на основание.

Осевое сечение конуса

Осевым сечение конуса является равнобедренный треугольник, который может быть:

Сечения конуса

Равнобедренный остроугольный треугольник

Равнобедренный тупоугольный треугольник

Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к его оси, круг

Сечение конуса плоскостью – эллипс

Сечения конуса

Развертка конуса

Усеченный конус

У сеченным конусом называется геометрическое тело, ограниченное боковой поверхностью конуса, его основанием и секущей плоскостью α, перпендикулярной оси конуса.

Основаниями усеченного конуса называются основание данного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью α.

Высотой усеченного конуса называется отрезок ОО₁ (или его длина), соединяющий центры его оснований, прямая ОО₁ называется осью.

Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью. А отрезки образующих конуса, называются его образующими.

Все образующие усеченного конуса равны между собой.

Способы получения усеченного конуса

Усеченный конус может быть получен вращением…

Площади поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую

S = πRl

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания

S = πR(l + R)

Площади поверхности усеченного конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению половине суммы длин окружностей оснований на длину образующей

S = π(R +R₁) l

Площадью полной поверхности усеченного конуса называется сумма площади боковой поверхности и площадей оснований

Объем конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

Объем усеченного конуса

Объем усеченного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

Комбинация многогранников и тел вращения

Решение задач

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Задача №6

Задача №7

Задача №8

Задача №9

Задача №10

Обобщение и систематизация знаний по разделу «Тела вращения. Поверхности, объемы тел вращения»

Сфера и шар

Сферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки пространства.

Шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.

Площадь сферы

Площадь сферы равна , где R – радиус сферы.

Объем шара

Объем шара радиусом R вычисляется по формуле .

Цилиндр

Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая ОО₁ - осью цилиндра.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь поверхности цилиндра состоит из площади оснований цилиндра и площади боковой поверхности

Площадь каждого основания цилиндра равна πR².

Площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра – площадь ее развертки.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту

Объем цилиндра

З а объем цилиндра, принимается число, к которому стремится объем правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон ее оснований неограниченно возрастает

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту

Конус

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Усеченный конус

У сеченным конусом называется геометрическое тело, ограниченное боковой поверхностью конуса, его основанием и секущей плоскостью α, перпендикулярной оси конуса.

Площади поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую

S = πRl

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания

S = πR(l + R)

Площади поверхности усеченного конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению половине суммы длин окружностей оснований на длину образующей

S = π(R +R₁) l

Площадью полной поверхности усеченного конуса называется сумма площади боковой поверхности и площадей оснований

Объем конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

Объем усеченного конуса

Объем усеченного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту