ТЕМА УРОКА .ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. Формула Ньютона-Лейбница.

ТЕМА УРОКА .ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ,

ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. Формула Ньютона-Лейбница.

1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке определена непрерывная и неотрицательная функция .

Определение. Криволинейной трапецией называется часть плоскости, ограниченная графиком функции , осью Ох ( ) и отрезками прямых , .

Пу сть требуется найти площадь криволинейной трапеции.

Для этого разобьём отрезок точками на n частичных отрезков и положим , . Наибольшую из этих разностей обозначим через : . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку : . Произведение даст площадь прямоугольника с основанием и высотой , тогда приближённо площадь криволинейной трапеции равна сумме:

, .

Эта сумма называется интегральной суммой.

Если увеличить количество частичных отрезков так, что длина любого из них будет стремиться к нулю, то данная интегральная сумма будет стремиться к площади криволинейной трапеции:

, . (1)

2. Свойства определённого интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке .

1. При перестановке пределов интегрирования знак определённого интеграла изменяется:

.

2. Определённый интеграл от функции с равными пределами интегрирования равен нулю:

.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:

, .

4. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций:

.

5. Определённый интеграл по отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям:

, где .

6. Если функция - чётная на отрезке , то выполняется равенство

.

7. Если функция - нечётная на отрезке , то выполняется равенство

.

4. Вычисление определенного интеграла

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке и – первообразная функции на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница:

.

Эта формула позволяет вычислить определённый интеграл, зная какую-либо первообразную для интегрируемой функции. Первообразную для функции можно найти, вычисляя неопределённый интеграл от этой функции.

Замечание.

Для краткости записи употребляется обозначение .

ПРИМЕРЫ.

1) .

2) .

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Пример 4: Решение:
.

Домашнее Задание. Пример

Вычислить определенный интеграл