Тема урока: Повторение материала по темам. «Обыкновенные дроби» и «Смешанные дроби»

B. Запишите правильный ответ.

В1. Найдите длину отрезка, который является областью значений функции

В2. Найдите сумму всех корней уравнения , принадлежащие промежутку .

В3.Сколько целых чисел из промежутка принадлежит области определения функции ?

С. Для каждого задания приведите решение и укажите ответ.

С1. Найдите все значения х, при которых функция у = 1 – 2cos² x принимает положительные значения.

С2. Найдите множество значений функции у = 2sin x , если х принадлежит промежутку .

С3. Постройте график функции у = |cos x|.

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: Преобразование тригонометрических выражений.

Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

• Преобразование тригонометрических выражений – это их упрощение, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Вот некоторые правила, которые помогут нам преобразовывать тригонометрические выражения.

1. Если в тригонометрических выражениях разные меры угла, то их следует привести к единой, применяя правила:

1) )

Например: 

2)

Например:  .

1. Если синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы содержат разные аргументы, (углы),стараемся привести к одному аргументу (углу).

Например, с помощью формул двойного аргумента(угла)   заменяем на   по формуле  .

1. Если в тригонометрическом выражении необходимо поменять синус на косинус, тангенс на котангенс, то применяем формулы приведения.

Например:  , так как  , синус меняется на косинус.

 , так как  , тангенс меняется на котангенс, угол в четвёртой четверти, здесь тангенс отрицательный.

1. Если тригонометрические выражения содержат большое количество тригонометрических функций, то необходимо привести к минимальному количеству видов функций. Для этого используем формулы приведения, основное тригонометрическое тождество или другие формулы.

Например:

вычислить  .

Заметим, что  ,  ,  .

Тогда данное выражение примет вид:  ;

в скобках формула косинуса двойного угла, т.е.  , значит

1. Если в тригонометрическом выражении нужно понизить степень входящих в него компонентов, применяем формулу понижения степени или формулу половинного аргумента. Только помните: степень понижается, аргумент удваивается.

 ,  ,   , 

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

Например: упростите выражение  .

Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:

.

Чтобы определить рациональность значения тригонометрического выражения, мы должны знать, что из всех углов, содержащих рациональное число, лишь углы вида  ;  ;   , где k целое число, имеют рациональный косинус.

Например,   число рациональное, так как  .

Углы вида  ;  ;   , где k целое число, имеют рациональный синус.

Углы вида  ;  , где k целое число, имеют рациональный тангенс.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Рассмотрим примеры преобразований тригонометрических выражений.

Пример 1.Вычислите:   .

Заметим, что в знаменателе данной дроби у синусов разные углы   и  . Используем формулу приведения:   и тогда наше выражение примет вид:   , в знаменателе тригонометрическое тождество, равное 1. Нам осталось 24 разделить на 1, получаем 24.

Пример 2. Найдите   , если  .

Так как   , то разделив числитель и знаменатель данной дроби на  . Получаем:

 , сократим и заменим   на .

 , по условию  =3, подставим это число в наше выражение:  .

Самостоятельно.

1.  Доказать тождество: 

2. Упростить выражение: 

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

ТЕМА УРОКА:РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Таблица 1

Объяснение и обоснование

1. Корни уравнения cos x = a.

При |a| 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a  1 или при a y = cos x).

Пусть | a | ≤ 1. Тогда прямая y = a пересекает график функции y = cos x (рис. из пункта 1 табл. 1). На промежутке [0; π] функция y = cos x убывает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккосинуса равен: x₁ = arccos a (и для этого корня cos x = a).

Косинус – четная функция, поэтому на промежутке [-π; 0] уравнение cos x = a также имеет только один корень – число, противоположное x₁, то есть                x₂ = - arccos a.

Таким образом, на промежутке [-π; π] (длиной 2π) уравнение cos x = a при |a| ≤ 1 имеет только корни x = ±arccos a.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2π, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2πn (n ∈  Z). Получаем следующую формулу корней уравнения cos x = a при |a| ≤ 1:

x = ±arccos a + 2πn, n ∈  Z         (1)

1. Частые случаи решения уравнения cos x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = a при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка А или точка В (рис. из пункта 2 табл. 1). Тогда

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка С, следовательно, x = 2πk, k ∈  Z.

Также cos x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, x = п + 2πk, k ∈  Z

Примеры решения задач

19.2. Уравнение sin x = a

Таблица 2

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнения sin x = a.

При |a| 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a  1 или при a y = sin x).

Рисунок 1

Пусть |a| ≤ 1. Тогда прямая y = a пересекает график функции y = sin x (рис. 1). На промежутке   функция y = sin x возрастает от -1 до 1. Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение sin x = a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арксинуса равен: x₁ = arcsin a (и для этого корня sin x = a).

На промежутке   функция y = sin x убывает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение sin x = a имеет на этом промежутке только один корень x₂ = π - arcsin a (рис. 1). Для проверки правильности записи значения второго корня x₂ заметим, что x₂ = π - x₁, тогда sin x₂ = sin (π- x₁) = sin x₁ = a. То есть x₂ – корень уравнения sin x = a.

Таким образом на промежутке    (длиной 2π) уравнение sin x = a при |a| ≤ 1 имеет только корни x₁ = arcsin a, x₂ = π - arcsin a.

Функция y = sin x периодическая с периодом 2π, поэтому все остальные корни отличаются от найденных 2πk (k ∈ Z). Получаем следующие формулы корней уравнения sin x = a при |a| ≤ 1:

x=arcsin a + 2πk, k ∈  Z.            (1)

x= π - arcsin a + 2πk, k ∈  Z.      (2)

Все значения корней уравнения sin x = a при |a| ≤ 1, которые дают формулы (1) и (2), можно записать с помощью одной формулы

x=(-1)ⁿ arcsin a + 2πn, n ∈  Z      (3)

Действительно, из формулы (3) при четном n = 2k получаем x = arcsin a + 2πk – формулу (1), а при нечетном n = 2k +1 – формулу x= - arcsin a + π(2k+1)= π - arcsin a + 2πk, то есть формулу (2).

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Рисунок 2

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке   функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈  Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈  Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈  Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

При a = 0

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?

2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?

3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: Тестовая работа №1

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ.

Общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

1) sin t = a, (0πn, nϵZ.

2) sin t  = -a, (0ⁿ⁺¹ ∙ arcsin a +πn, nϵZ.

3) cos t = a, (0πn, nϵZ.

4) cos t = -a, (0π-arccos a)+2πn, nϵZ.

5) tg t = a, (a0);  t = arctg a + πn, nϵZ.

6) tg t = -a, (a0);  t = -arctg a + πn, nϵZ.

7) ctg t = a, (a0);  t = arcctg a + πn, nϵZ.

8) ctg t = -a, (a0);  t = π-arcctg a + πn, nϵZ.

Тестовая работа №1

1. Решить уравнение:

2. 2 cos x + 3 = 0.

1. ±arccos1,5+2πn, n∈Z; 

2.  B) нет решений;  

C) -arccos1,5+2πn, n∈Z;  

D) arcсos 3+2πn, n∈Z.   

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

4. Решите уравнение:

5. Найдите решение уравнения ctg x=1, принадлежащие интервалу (0; π).

A) π/3 ;

 B) π/4; 

C) 5π/4;  

D) π.

6. Решите уравнение: 2 sin x = -1.

7. Найдите решение уравнения:

8. Решить уравнение: 3sin x -1= 0.

9. Решить уравнение:

10. Решить уравнение:

11. Решить уравнение: 2sin 3x–1 = 0.

12. Решить уравнение:

13. Решите уравнение:

14. Найдите решение уравнения ctg x = -1, принадлежащие интервалу (0; π).

A) π/3;

 B) π/4; 

C) 3π/4;  

D) 2π/3.

15. Решите уравнение:

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: Понятие о производной.

Тип урока - урок изучения нового материала.

Пусть дан график  функции у=f(x).

Рассмотрим точку М₀ с абсциссой x_o. Пусть ∆х – это изменение абсциссы от точки x_o до х, т.е. ∆х = х – x_o , M₀М – секущая, M₀N – касательная.

Найдите:

а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);

б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная – это предельное положение секущей)

Решение: у= f(x) – заданная функция, ∆х = х – x_o – изменение абсциссы от точки x_o до х.

v_ср =   . В нашем случае k_сек =  

При х→х₀ (или ∆х →0) будет f(x)→f(x₀), следовательно, M₀М→ M₀N. 

Тогда k _кас =   .

Рассмотрим движение материальной точки М по прямой с выбранным на ней началом отсчета – точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение точки М будет описываться функцией

s = s (t), t[ t₀ ; t].

Найдите:

а) среднюю скорость за отрезок [t₀ ; t];

б) скорость точки в момент времени t₀ (мгновенную скорость).

Решение: За промежуток времени длительности t – t₀ между моментами времени t₀ и t точка проходит путь равный s(t) –s(t₀ ).

Среднюю скорость получают, разделив перемещение материальной точки s на изменение времени, в течение которого оно совершено.

Тогда v_ср =  ;

Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее можно охарактеризовать движение. А мгновенной скоростью называется число к которому стремится разностное отношение средней скорости за промежуток времени от t₀ до t при t→ t_0. 

Тогда v_мгн =   ,

Бактерии размножаются быстро и просто – они делятся пополам и при благоприятных условиях за сутки из одной бактерии могут образоваться десятки тысяч. Рост клеток бактерий в условиях ограниченности питательных веществ или пространства в течение начального интервала времени от t₀ до t происходит по некоторому закону y = N(t).

Найдите:

а) среднюю скорость изменения количества бактерий за промежуток времени [t₀ ; t];

б) скорость изменения количества точки в момент времени t₀ (мгновенную скорость).

Решение: В физике для нахождения средней скорости делят длину перемещения тела s на время, в течение которого оно совершено,

 т.е. v_ср =  . В нашем случае v_ср =  .

Мгновенной скоростью v(t₀) в момент времени t₀ является число к которому стремится разностное отношение средней скорости за промежуток времени от t₀ до t при t→ t₀.

Тогда  v_мгн =  .

4. Изучение нового материала 

Приращению аргумента соответствует «приращение функции», которое также обозначается с помощью заглавной греческой буквы «∆».

Вопрос: Скажите, а вы знаете, кто впервые стал использовать знак «∆» для обозначения разности аргументов?

- Да. Буква «∆» – одна из заглавных букв греческого алфавита ее стал использовать Эйлер (сер. 18 века).

Исходя из этого полученную формулу можно записать по-другому: или и прочитать так: число, к которому стремится разностное отношение   =    при  .

Поскольку многие задачи в различных областях науки в процессе решения приводят к такой же модели – этому отношению надо: дать название, дать обозначение и изучить его. Это мы с вами сейчас и сделаем.

(Слайд 4)

Определение: Производной функции   в точке   называется число, к которому стремится разностное отношение   =    при  .

но обозначается по-разному:

х),   у′ – эти обозначения для производной ввел Жозеф Луи Лагранж

Это определение вы запишете в тетрадях.

Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной.

(Учащиеся должны ответить):

(Слайд 5)

1. Задать функцию f(x).

Алгоритм нахождения производной  (находим  )):

1) Задать приращение   и вычислить   =   =  .

2) Найти разностное отношение   и сократить на  .

3) Если   при    стремится к какому-то числу, то это число будет   .

Далее группа самостоятельно формулирует и записывает в тетради

Физический смысл производной – это скорость изменения расстояния: s‘(t) = v(t).

(За бесконечно малое время прошел бесконечно малое расстояние. Спидометр машины показывает мгновенную скорость. Скорость в данный момент времени ).

Если производная положительная, то расстояние увеличивается, а если отрицательная, то расстояние уменьшается.

(Слайд 6)

Геометрический смысл: f‘(х_о) – это коэффициент угла наклона касательной к оси Ох

f‘(х_о) = k = tg α.

(Слайд 7)

Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке х_о, то можно провести что? (обычно ученики говорят: что можно провести касательную в точке х_о и наоборот – если можно провести касательную в точке х_о, то в этой точке существует производная. На ошибку в формулировке пока не обращается внимание, фраза записывается на доске в таком виде и дальше продолжаются обсуждения.

записывается под определением на доске

…Если существует производная в точке х_о, то можно провести касательную в точке х_о. Наоборот — если можно провести (…) касательную в точке х_о, то в этой точке существует производная.

Итак, подведём итог: вы сами дали мне определение производной, но встаёт вопрос: а всегда ли существует производная в точке?

Особое внимание обращается на моменты, когда касательная перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Ох.

Всегда ли существует ли производная в точке х_о?

Задается ряд вопросов:

Давайте вернёмся к геометрическому смыслу производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке f‘(х_о) = k = tg α.

5. Закрепление нового материала

Самостоятельная работа в группах (15-20 минут)

Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания №2

Биологи

Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = C.

Решение

y = C – постоянная линейная функция.

∆у = f(x +∆х) – f(x)= С – С = 0; 

то у′ =  0.

Итак, ( С ) ′= 0.

Физики

Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = kx + b.

Решение

y = kx + b – линейная функция.

Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда

∆у = f(x + ∆х) – f(x)=

= k (x +∆х)+ b – (kx + b) = k∙x + k∆∙х – kx – b = k∆∙х

= k = k.

Итак, (kx + b)′ = k.

Математики

Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = х².

Решение

y = х² .

Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда

∆у = f(x + ∆х) – f(x)=

= (x +∆х)² – х² =

= х²+ 2∙х∙∆х + (∆х)² – х² = 2∙х∙∆х + (∆х)² = ∆х∙(2х +∆х)

= 2х = 2х.

Итак, (х² )′ = 2х.

6 этап. Закрепление нового понятия

1) Откройте учебники на стр. 106, № 189(а,б)

2) Возьмите лист № 3. Задания из ЕГЭ

Лист № 3.

1. Задание 7 (№ 9649)

На рисунке изображены график функции y = f(x) и

касательная к нему в точке с абсциссой  x₀ . Найдите

значение производной функции f = (x) в точке  x₀ .

2. Задание B7 (№ 6399)

На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале  . Определите количество целых точек, в которых производная функции   положительна.

7 этап. Итог урока

8 этап. Домашнее задание

№188 (б)

Постройте график функции f и проведите к нем касательную, проходящую через точки с абсциссой x₀. Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой касательной.

б) 

№189 (в, г)

Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссой   (если касательная существует).

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: Производные элементарных функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение элементарной функции;

2) производная показательной функции;

2) производные тригонометрических функций;

3) производная логарифмической функции.

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.

1. (e^x) '= e^x

2. (e^kx+b) '=ke^kx+b

3. (a^x) '=a^xlna

4. 

5. 

6. 

7. (sin x) '=cosx

8. (cos x) '= -sinx

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций.

1.Производная показательной функции.

Показательная функция f(x)=a^x, где а0, a ≠1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле:

a^x=e^{xln a} (1)

так как e^{xln a}= (e^{ln a})^х= а^х.

Стоит отметить свойств о функции е^х: производная данной функции равна ей самой

(e^x) '= e^x. (2)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

(e^kx+b) ' = ke^kx+b. (3)

Производная для a^x:

(a^x) ' = a^xlna. (4)

2.Производная логарифмической функции.

Логарифмическую функцию   с любым основанием а 0, а≠ 1 можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с помощью формулы перехода

 (5)

Производная функции lnх выражается формулой

 (6)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

 (7)

 (8)

3.Производные тригонометрических функций.

Для тригонометрических функций справедливы следующие равенства:

(sin x)’=cosx (9)

(cos x)’= -sinx (10)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти производную:

1. f(x) = 3lnx

Решение: 

Ответ: 

1. f(x) = 3·e^2x

Решение: (3e^2x) ' = 3·2· e^2x = 6 ·e^2x

Ответ: 6 ·e^2x

1. f(x) = 2^x

Решение: (2^x) ' = 2^xln2

Ответ: 2^xln2

Решение: 

Ответ: 

1. f(x) = sin (2x+1) - 3cos(1-x)

Решение: (sin (2x+1) - 3cos(1-x)) ' = 2cos(2x+1) - 3sin(1-x)

Ответ: 2cos(2x+1) - 3sin(1-x)

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока : Перпендикулярность прямых в пространстве .

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..

Доказательство:Дано: a ‖ b, a ⊥ c

Доказать: b ⊥ c .Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90^о.

Так как b ‖ a, а а ‖ МА, то b ‖ МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90^о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90^о .Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90^о, то есть b ⊥ с.  Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство:Дано: a ‖ а₁, а ⊥ α

Доказать, что а₁ ⊥ α

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а₁ ⊥ x.Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а₁ ⊥ α .Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Дано: а ⊥ α, b ⊥ α

Доказать, что а ‖ b

Доказательство:Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а.

М ∊ b, M ∊b₁, b₁ ‖ a. По предыдущей теореме b₁ ⊥ α. Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b₁ и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b₁, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b₁ ∊ β, α   β = c (невозможно)→ а ‖ b . Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Рис. 2.

Доказательство.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α. Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

Рис. 3.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Домашнее задание : Тестовая работа .

1)Выбор элемента из выпадающего списка

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC ).

Варианты ответов:

1)AD, A₁D₁, BC, B₁C₁

2)AD, AC, AD₁,

3)ВС, ВА.

Пример 2

Утверждение:

• Две прямые называются перпендикулярными, если …..

Варианты ответов:

1)

2)

3)параллельны

4)она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.

5)перпендикулярна плоскости.

Пример 3

Утверждение

• Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

Варианты ответов:

1)

2)

3)параллельны

4)она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.

5)перпендикулярна плоскости.

Пример 4

Указать верный ответ:

1) Две прямые имеют общую плоскость, через которые можно провести плоскость.

2) Провести плоскость если две прямые не имеют общую точку.

3) Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость.

4) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они не пересекаются.

Пример 5

Прямая перпендикулярная к двум различным плоскостям, тогда плоскости:

1) пересекаются 2) скрещиваются 3) параллельны 4) нельзя определить

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока : Перпендикулярность и наклонная .

Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.

(Рис. 1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН. Сторона АН — катет, а сторона AM — гипотенуза, поэтому АН AM. Поэтому перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.

Стоит отметить, что в случае двух параллельных плоскостей, расстоянием между ними будет расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости. Например, все точки потолка находятся на одинаковом расстоянии от пола. Если же прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. Например, все точки прямой b равноудалены от потолка комнаты. Если мы имеем дело со скрещивающимися прямыми, то расстоянием между ними будет расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Сформулируем теорему о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

(Рис. 2)

На рисунке 2: АН — перпендикуляр к плоскости α, AM — наклонная, а — прямая, проведенная в плоскости α через точку М перпендикулярно к проекции наклонной НМ. Докажем, что прямая а перпендикулярна наклонной AM.

Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а перпендикулярна к НМ по условию. Так как прямая а, лежит в плоскости α, а эта плоскость перпендикулярна отрезку AH, то прямая а перпендикулярна к этой плоскости. Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности прямая а перпендикулярна отрезку АМ. Теорема доказана.

Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и AM.

Справедлива также обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Введем теперь понятие проекции произвольной фигуры на плоскость. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.

Обозначим буквой F какую-нибудь фигуру в пространстве. Если мы построим проекции всех точек этой фигуры на данную плоскость, то получим фигуру F₁, которая называется проекцией фигуры F на данную плоскость (рис. 3).

(Рис. 3)

Докажем теперь, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая (рис. 4).

Данную плоскость обозначим буквой α. Произвольную прямую, не перпендикулярную к плоскости, обозначим буквой а. Из какой-нибудь точки М прямой а проведем перпендикуляр МН к плоскости α и рассмотрим плоскость β, проходящую через прямую a и перпендикуляр МН. Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой а₁.

Докажем, что эта прямая и является проекцией прямой а на плоскость α. В самом деле, возьмем произвольную точку М₁ прямой а и проведем в плоскости β прямую М₁Н₁, параллельную прямой МН.

Так как отрезок MH перпендикуляр к плоскости α и отрезок MH параллелен М₁Н₁, то отрезок М₁Н₁ тоже перпендикулярен плоскости α.

Этим мы доказали, что проекция произвольной точки прямой а лежит на прямой а₁.

Аналогично доказывается, что любая точка прямой а₁ является проекцией некоторой точки прямой а. Следовательно, прямая а₁ — проекция прямой а на плоскость α. Что и требовалось доказать.

(Рис. 4)

Теперь введем понятие угла между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: Виды соединений – сочетания, размещение, перестановки, факториал, связь между ними.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Все комбинаторные формулы можно вывести из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения. Эти два важных правила часто применяются при решении комбинаторных задач.

Основными понятиями комбинаторики являются размещения, перестановки и сочетания.

1. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество, состоящее из m различных элементов данного множества.

1. Число размещений (без повторений) из n элементов по m элементам равно

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать председателя, заместителя и профорга из 9 человек?

Решение. n = 9, m = 3.

1. Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементам.

1. Число перестановок n различных элементов (без повторений) равно Р_n=n!

Пример 3. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределиться места по окончании соревнований?

Решение. Используем формулу перестановки без повторения для n = 6:

Р₆=6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

1. Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество, состоящее из m различных элементов данного множества

1. Число сочетаний из n элементов по m(без повторений) равно

Пример 5. Из учащихся 25 человек нужно выбрать троих дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. n = 25, m = 3.

Домашнее задание:

1.

Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?

Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?

2.

Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова «Абракадабра»?

Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова «Тарантас»?

3.

Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 9 различных красок?

4.

Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно составить посылку из 3 книг и 5 журналов?

На первой полке стоит 12 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать 4 книги с первой полки и 3 со второй?

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: Понятие вероятности события.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Согласно классическому определению вероятности вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность события А определяется формулой:

Р(А) = m/n,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 1. В ящике имеется 10 красных и 8 синих шаров. Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется синим.

Решение.

Дано:

m= 7

n = 10+8 = 18

Решение

А – извлеченный шар синего цвета

P(A) = m/n = 7/18 = 0,38 = 38,9%

Р(А) - ?

Ответ: P(A) = 38,9%

Пример 2. В мешочке имеется 6 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, р, ф, а, ь, н.Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках можно будет прочесть слово «фонарь».

Решение.

Дано:

о, р, ф, а, ь, н

Решение

А – из кубиков сложилось слово «фонарь».

P(A) = m/n

Т.к. из данных букв слово «фонарь» можно сложить только одним способом, то событию Aблагоприятствует 1 исход. → m= 1.

Количество всех возможных способов выпадения букв на кубиках равно количеству перестановок.

n= P₆ = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

P(A) = 1/720 = 0,00139 = 1,4%

Р(А) - ?

Ответ: P(A) = 1,4%

Домашнее задание:

1.

В коробке лежат 6 красных и 4 синих карандаша. Наугад вытаскиваются один из них. Найти вероятности событий того, что извлеченный карандаш красного цвета.

В коробке лежат 3 красных, 6 синих и 5 зеленых карандашей. Наугад вытаскиваются один из них. Найти вероятности событий того, что извлеченный карандаш красного цвета.

2.

Бросаются два игральных кубика.Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна 6.

3.

Бросаются два игральных кубика.Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна 8.

4.

В пачке находятся одинаковые по размеру 10 тетрадей в линейку и 6 в клетку. Из пачки наугад берут 4 тетради. Какова вероятность того, что все 4 тетради окажутся в клетку?

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМ УМНОЖЕНИЯ И СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ :

1. Суммой A + B двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

   1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р(А) + Р(В)

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

1. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

   1. Теорема произведения для независимых событий. Для независимых событий вероятность совместного появления событий равна произведению вероятностостей этих событий:

Р(АВ) = Р(А) Р(В).

Домашнее задание:

1.

Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий; английский и немецкий – 8%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы знает хотя бы один язык.

2.

Имеется 3 ящика, содержащих по 20 деталей. В первом ящике 12, во втором 5 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

3.

Имеется 3 ящика, содержащих по 15 деталей. В первом ящике 5, во втором 7 и в третьем 10 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: « Логарифмической функции».

Конспект урока .

Напомним, что логарифмической называется функция вида , где , . Здесь  – независимая переменная, аргумент;  – зависимая переменная, фунция;  – основание, фиксированное число.

Рис. 1 – график логарифмической функции при  (черный) и  (красный)

Основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: , ;

2) Область значений: , ;

3)  ;

4) при  функция возрастает,  при  – убывает;

Итак, под знаком логарифма может стоять только положительное число, причем любое. Сам же логарифм может принимать абсолютно любые значения. Логарифм единицы при любом основании равен нулю, то есть все логарифмические кривые проходят через фиксированную точку .

Монотонность логарифмической функции

Мы многократно указывали на монотонность логарифмической функции, но никогда не доказывали этот факт. Рассмотрим на конкретном примере и тогда станет понятно, как для любой логарифмической функции доказать факт ее монотонного возрастания или убывания.

Задача:Доказать, что функция  монотонно возрастает. Доказательство:

Напомним, что  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение  из выражения 1 вместо  в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Напомним, что здесь , ,

Утверждение, что функция монотонно возрастает, означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: . Запишем  и  с помощью основного логарифмического тождества:

,

Мы выбрали  и  из области определения, то есть оба эти числа положительны, так, что :

Имеем:

Получили показательное неравенство, в котором основания степеней равны и больше единицы, значит, имеем право сравнить показатели, сохранив при этом знак неравенства:

Что и требовалось доказать.

Решение простейших уравнений и неравенств

Перейдем к решению типовых задач.

Пример 1 – решить уравнение, неравенство:

а)

б)

в)

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 2 – график функции

Очевидно, что функция возрастает.

Решим уравнение:

Пример а) решен. Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью; второй интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б) ; в)

Решим аналогичную задачу.

Пример 2:

а) 

б) 

в) 

Рассмотрим график логарифмической функции  :

Рис. 3 – график функции 

Очевидно, что функция убывает.

Решим уравнение: 

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью; второй интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б) ; в)

Список рекомендованной литературы.
1) Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина
2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 
3) Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1) Интернет-сайт «ГлавСправ» (Источник)

2) Интернет-сайт Nado5.ru (Источник)

3) Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

Домашнее задание.

Пример 1 – построить график функции:

а)

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: «Решение логарифмических уравнений».

Конспект урока .

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы. Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

. При этом .

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма: .

Основное логарифмическое тождество: , .

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

.

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение:

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем:

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при .

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

;

;

;

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом .

. Ответ: 21.

Домашнее задание .

7.Решите уравнение: .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: « Логарифмической функции».

Конспект урока .

Схема решения логарифмических неравенств

На предыдущем уроке мы рассмотрели решение логарифмических уравнений и их систем. На этом уроке речь пойдет о логарифмических неравенствах и их системах.

Мы уже говорили о логарифмической функции и ее свойствах. Важным свойством, которым мы пользовались для решения логарифмических уравнений: монотонность.

Для  график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 - возрастающая функция: чем больше , тем больше . Значит, . В отличие от уравнений, здесь проверкой обойтись не удастся, поэтому необходимо учитывать ОДЗ: .

Объединяя, получаем: .

Для  график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 - убывающая функция: чем больше , тем меньше . Значит, .

ОДЗ: .

Объединяя, получаем:

.

Проверка ОДЗ при решении логарифмических неравенств

Лучше всего начинать решение неравенств с проверки ОДЗ. Поскольку даже на первом шаге решения можно получить выражение с измененной ОДЗ.

Например:

ОДЗ:    

А после преобразований:

ОДЗ:

Как быстро определить знак логарифма

Рассмотрим такой полезный факт: как быстро определить знак логарифма?

Рассмотрим два случая:

1)   : 

2)   :

Таким образом, , если  и  лежат по одну сторону от 1, и , если  и  лежат по разные стороны от 1.

Основные виды логарифмических неравенств

1) Простейшие

2) Сводящиеся к простейшим

3) С использованием свойств логарифмов

4) С заменой

5) С переменной в основании

Системы логарифмических неравенств

1.Решить неравенство:

ОДЗ:

Решение:

Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняем:

Ответ:

2.Решить неравенство:

ОДЗ:

Решение:

Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняем:

Пересекаем решение и ОДЗ, имеем:

Полезные ссылки:

1) Алгебра 11 класс: "Логарифмические неравенства"

2) Алгебра 11 класс: "Решение логарифмических неравенств"

3) Алгебра 11 класс: "Решение логарифмических неравенств (продолжение)"

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: « Показательные и Логарифмические функции».

Конспект урока .

1. Показательной называют функцию вида y = а^х,где а – основание, a  0,а ≠ 1;

х – показатель,

Свойства показательной функции y = а^х, а ≠ 1, a  0

1. D(х) = (-∞; +∞),

2. E(y) = (0; +∞).

3. Нулей не имеет;

4. Точка пересечения с осью Оу:(0; 1),т. к. у(0) = а⁰ = 1.

5. При а 1 функция возрастает; при 0

6. Ни чётная функция, ни нечётная.

7. Не ограничена сверху, ограничена снизу прямой у = 0.

8. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Непрерывна.

10. Выпукла вниз.