Тема Урока :Производная: механический и геометрический смысл производной.

Тема Урока :Производная: механический и геометрический смысл производной.

 Конспект урока .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +    точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ +   ) - x ( t₀ ) =  , а её средняя скорость равна:  v_a =   /   . 

При      0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ .

Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (t₀) = x ^/ (t₀), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v ^/ ( t ).

Пример. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t³ – 0,5t² + 3t  (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.

Решение: v( t ) = s ^/ ( t ) = 6t² – t + 3, v(1) = 6 – 1 + 3 = 8.

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

 Уравнение касательной. y =  f ( x₀ ) +  f ^/( x₀ ) · ( x – x₀  ) .

2)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀:  а) y(x) = x³, x₀ = 1,       б) y(x) = ln x, x₀ = 1,         в) y(x) = 3x²   4x, x₀ = 2,

г) y(x) = х³ + 7x²  5x+3, x₀ = 3,          д) y(x) = е^х, x₀ = ln 7,       e) y(x) = 7sinx, x₀ = 0,

             Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т.е. k = y  ¢  (x₀) ,

найдем производные и вычислим их в точке x₀

a)                                           б) 

в)  

г) 

д)  е ^ln 7= …,е)   7cos x,   7  cos 0 = 7  1 = …, 

             Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7.

Пример . Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих  через точку M(– 3; 6).

Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3)  ­ 6 (рис. ).

1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = – a² – 4a + 2. 3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4. 4. y = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),a² + 6a + 8 = 0 , D = 6²   4 1  8 = 36   32  = …, 

а₁= ( 6   2) : 2 =  8 : 2  =  …,  а₂ = ( 6   2) : 2 =  4 : 2 = …,

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.        

      Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.