Тендеме жонундо

Теңдемелер эмне үчүн керек

Эсептөөчү маселелер түз жана кыйыр түрүндө болот. Биринчисинин чыгарылышына маселенин шарты түрткү кылат, ал эми кыйыр түрүндөгү маселелердин шарты анын чыгарылышына кандай алып бараары белгисиз болот. Мындан арифметикалык аталыштагы чыгарылышты кыйыр түрүндөгү маселелердин чыгарууда чоң чыгармачылыкты талап кылат. Ар бир жаңы маселе жаңыча пландоого алып келет. Эсептөө процессин алып кетүү үчүн негизги предмети болгон алгебраны окуп үйрөнүүдө теңдеменин ыкмасы түзүлгөн. Ошондон улам, теңдемени эсептөө процессин кыймылдатуу керек. Теңдеме түзүлгөндөн соң, анын чыгарылышын автоматтык түрдө дароо алсак болот. Маселени чыгаруунун кыйынчылыгы ал теңдеменин түзүлүшүнө жараша келип чыгат.

Теңдемени түзүү – бул маселенин белгилүүлөрү менен анын чоңдуктарынын белгисиздери ортосундагы байланышты математикалык формада туюндуруу.

Теңдемелердин жардамы менен маселелерди чыгарууну карайлы.

1-маселе. Апасы уулунан эки эсеге улуу. Он жыл мурун ал баласынан үч эсе улуу болчу. Апасы канча жашта?

2-маселе. Үч кутучада 56 калем сап бар. Биринчи кутучадагы калем саптар экинчисине караганда эки эсе, ал эми үчүнчүсүнө караганда 2,5 эсеге көп экендиги белгилүү. Ар бир кутучуда канчадан калем сап бар?

3-маселе. Дарыянын агыбы боюнча теплоход жолду 9 саатта сүзүп өтөт. Агымга каршы 11 саатта. Эгерде дарыянын агымынын ылдамдыгы 2 км/с болсо теплоходдун өзүнүн ылдамдыгын тапкыла.

Теңдеменин тең салмактуулугу

Бирдей тамырга ээ болгон тендемелерди тең күчтүү тендемелер деп атайбыз. Тамырга ээ болболгон теңдемелер да тең салмакттуу деп аталат.

4-мисал. x + 5 = 7 жана x - 8 = -6 тндемелери тең салмактуу деп аталышат, анткени экөөнүн тең тамырлары 2ге барабар.

5-мисал. 9 + x² = 0 жана 3x² + 27 = 0 эки теңдеменин тең тамырлары болбогондуктан тең салмакттуу болушат.

6-мисал. 9 - x² = 0 жана x + 4 = 7 тең салмактуу болушпайт, анткени биринчисинин тамырлары -3 жана 3, ал эми экинчисиники бир гана 3 деген тамырга ээ.

Тендемени чыгаруу учурунда аны болушунча жөнөкөй тең күчтүү болгондой берилиштер менен алмаштырат. Ошондуктан, кандай өзгөртүү учурунда ал теңдемеге тең салмактуу болот.

1-теорема. Эгерде теңдемеде кайсыл бир кошулуучунун барабардыктын экинчи жагына белгнисин карама-каршы кылып өзгөртүү менен которсок, анда ал теңдемеге тең барабардык келип чыгат.

Мисалы, x² + 4 = 2x теңдемесине x² + 4 - 2x = 0 тендемеси тең күчтүү болот.

2-теорема. Эгерде барабардыктын эки жагына тең бирдей нөлдөн айырмаланган санды көбөйтүп же бөлсөк, анда ага барабар болгон теңдемени алабыз.

Мисалы, (x-5)/4 =4x теңдемеси x-5=16x теңдемесине тең күчтүү. Анткени эки тарабына тең 4тү көбөйттүк.

Теңдемелердин тарыхынан

Тендемелер мен үчүн маанилүү,

анткени саясат – азыркы учур үчүн,

а теңдемелер – түбөлүк үчүн.

Альберт Эйнштейн.

Эң байыркы математикалык жазылмаларда эле амалдардын жардамы менен чыгарылган мисалдар жана амалдар кездешкен. Мындай Египеттик папируста биздин заманга чейин 2000 жыл мурун ( анда автор Ахмес жазгыч көрсөткөндөй, бул математикалык жазылмалар мындан да байыркы башка жазылмалардын көчүрмөсү) белгисиз санды табууга маселелери болгон. Ал белгисиз «хау» (дөбөчө) деп аталган жана өзгөчө иероглиф менен белгиленген.

Мына ал папирустун мисалдарынын чыгарылыштарынан:

1) «Белгисиз, анын жетинчи бөлүгү, анын бүтүнү 19ду түзөт».

Азыркы кезде бул мисал мындайча жазылат:

2) «  кошулган жана   алынган: калдыгы 10». Папируста маселенин чыгарылышын мындайча түшүнсө болот: белгисизге   тү кошуп, андан   алынган, келип чыккан суммадан; калдыгы 10; санды табуу керек. Азыркы кезде бул маселе мындайча жазылат:   ; Жообу: х=9

3) Диофантада дагы бир белгисизи менен амалдар кездешет, мисалы: “20 жана 100 сандары. Бир эле санды эң кичине санга кошуп жана эң чоңунан алуу; сумманын айырмага карата мааниси 4 кө барабар”.

4) Индиялыктардын биздин заманга чейинки VII жана VIII кылымдардагы арифметикалык кол жазмаларында, ал дагы андан дагы байыркы (III-IVкылымдардагы) кол жазманын көчүрмөсү, анда мындай маселе бар:

“Төрт курмандыктын экинчиси биринчиге караганда экиге көп берди, үчүнчүсү экинчиге караганда үчкө көп, төртүнчү үчүнчүдөн төрткө көп, баары биригип 132 беришти. Биринчи канчаны берди?”

Теңдемени жазсак: x+2x+6x+24x=132

Кол жазмаларда бул маселе “жалган абал” ыкмасы менен чыгарылат. (Бул ыкманы Л.Ф.Магницкий өзүнүн “Арифметикасында” пайдаланган.)

“Эгерде биринчи 1ди берсе, анда экинчи 2ни, үчүнчү 6, төртүнчү 24, баары чогуу 33. Бирок баары бирге 132 болчу да, башкача айтканда төрткө көп. Демек, ар бир курмандык төрткө көп беришкен”. Жооп: 4;8;24;96.

Бирок биринчи даражадагы бир белгисизи менен теңдемени чыгаруунун жалпы эрежесин IX кылымда Мухаммед аль-Хорезми берген.

Ошибка создания миниатюры: Файл не найден

Өзүнүн “Аль-джебр жана аль-мукабала” аттуу жазылмаларында ал теңдемени чыгаруудагы колдонулган эки абалды берген:

1) “аль-джебр” абалы, эгерде теңдемеде терс (алынуучулар) мүчөсү болсо, анда аларды теңдеменин эки жагынын тең карама-каршы мүчөлөрүнө кошулат, анда теңдеменин баардык мүчөлөрү оң болот.

2) “аль-мукабала” теңдеменин эки жагынан тең бирдей мүчөсү алынат, бул болсо аны жөнөкөйлөткөнгө алып келет.

Мисалы.

Берилди: 5х-17=2х-5.

“аль-джебрды” пайдалансак: теңдеменин ар бир бөлүгүнө 5 менен 17и кошобуз.

Анда: 5х+5= 2х+17 алабыз.

“аль-мукабала”: Ар бир бөлүктөн 2х менен 5 ти алабыз.

Анда: 3х=12 ни алабыз.

Бул жерден х ти табуу оңой болот x=4.

Кыргызстандагы математикалык илимдин өнүгүүсү

Математика мектепте предмет катары Кыргызстанда Октябрь революциясынан кийин, жогорку математика болсо – Кыргызстанда биринчи ЖОЖ – Кыргыз мамлекеттик педагогикалык институту – азыркы Ж. Баласагын атындагы Кыргыз улуттук университети ачылгандан кийин окутула баштаган.

Кыргызстанда математика боюнча системалуу изилдөө иштери 1940-жылдан тартып семинарда профессор Г. А. Сухомлиновдун жетекчилиги астында жүргүзүлө баштаган. 1949-1965-жылдары семинарларды 1960-жылы Кыргыз ССРдин ИА мүчө-корреспонденти болгон профессор Я. В. Быков жетектеген, 1966-жылдан тартып бул семинарларды жалпы республикалык болуп, Институттун дубалында Кыргыз ССРдин ИА академиги (1979) жана СССРдин ИА (1981) мүчө-корреспонденти М. И. Аманалиев жетекчиликке алган.

1955-жылы Кыргыз ССРдин ИА Президиумунун астында, ал убакта эле илимдин кандидаттары Я. В. Быков жана М.И. Иманалиевдер курамында болушуп, Физика, математика жана механика бөлүмүн түзүшкөн.

1960-жылы Бөлүм Физика, математика жана механика Институту болуп өзгөртүлгөн. 1962-жылы ал Физика жана математика Институту аталып, 1984-жылы Физика жана математика Институтунун базасынын математикалык лабораториясынын базасында Математика институту уюштурулган. 2008-жылы анын базасында Теориялык жана прикладдык математика институту түзүлүп, а 2017-жылы ал КР УИА Математика институту болуп кайра аталган.

1984-жылдан 2016-жылга чейин Институтту М. И. Иманалиев жетектеген, а 2016-жылдан тартып бүгүнкү күнгө чейин академик А. А. Бөрүбаев жетектеп келет. Институттун негизги ишмердүүлүгү төмөнкү илимий изилдөөчүлүк багыттарды аныктайт:

• Тең калыптагы жана топологиялык тегиздиктер жана алардын чагылдырылышы.

• Функционалдык мейкиндик.

• Айырмасын, дифференциялдык жана интегро-дифференциялдык теңдемелерди түшүндүргөн, анын ичинде сингулярдык-кыжырдануучу динамикалык системалары.

• Интегралдык теңдемелер, корректүү эмес жана тескери маселелер.

• Оптимизацияланган экономикалык маселелер.

Илимий изилдөөлөрдү компьютерлештирүү, объектилерди интерактивдүү таануу.

Изилдөө иштеринде көбүнчө теория жана интегро-дифференцирленген тиркемелерге, интегралдык жана дифференциалдык теңдемелерге, операциялык изилдөөлөргө, айырмачылык жана суммардык-айырмачылык теңдемелерге, математикалык физикага, сызыктуу алгебрага. Кыргызстандын математикадагы көпчүлүк ийгиликтери интегро-дифференциялдык теңдемелер чөйрөсүндө жетишилген. Математик окумуштуулар математикалык илимге билимдүү, жогорку интеллектуалдуу, максатка умтулган жаш адистер келип Кыргызстанды мындан дагы жогорку бийиктиктерге жетишүүгө зор салымын кошооруна ишенишет.