СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 21.07.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Теорема Безу 10-11 класс

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Просмотр содержимого документа
«Теорема Безу 10-11 класс»

Теорема Безу Алгебра и начала математического анализа – 10

Теорема Безу

Алгебра и начала математического анализа – 10

Этье́нн Безу́ (1730 – 1783) – французский математик, член Парижской академии наук Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.)ю Автор шести томного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно пере издававшегося.

Этье́нн Безу́ (1730 – 1783) – французский математик, член Парижской академии наук

Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768).

Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.)ю

Автор шести томного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно пере издававшегося.

Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а) Доказательство. Поделим с остатком многочлен Р(х) на двучлен (х – а) :   Р(х) = Q(х) (х – а) + R(х) Т.к.  степень  R меньше степени (х – а) , то R(х) – многочлен нулевой степени, т.е. R(х) = R – число. При х = а , имеем  Р(а) = Q(а) (а – а) + R(а.   Р(а) = R(а).  чтд

Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а)

Доказательство.

Поделим с остатком многочлен Р(х) на двучлен (х – а) :

Р(х) = Q(х) (х – а) + R(х)

Т.к. степень R меньше степени (х – а) , то R(х) – многочлен нулевой степени, т.е.

R(х) = R – число.

При х = а , имеем Р(а) = Q(а) (а – а) + R(а.

Р(а) = R(а). чтд

Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а)  Следствия Число a является корнем многочлена Р(х) тогда и только тогда, когда Р(х) делится без остатка на двучлен (х – а)  (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена  тождественно множеству корней соответствующего уравнения) Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами   (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни  являются и целыми) Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k Если число а является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен можно представить в виде произведения  (х – а) Р 1 (х),  где Р 1 (х) - многочлен n-1–й степени. Приложения Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни уравнений с целыми (рациональными) коэффициентами.

Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а)

Следствия

  • Число a является корнем многочлена Р(х) тогда и только тогда, когда Р(х) делится без остатка на двучлен (х – а)

(отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения)

  • Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами

(если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми)

  • Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k
  • Если число а является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен можно представить в виде произведения (х – а) Р 1 (х), где Р 1 (х) - многочлен n-1–й степени.

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни уравнений с целыми (рациональными) коэффициентами.


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!