Теорема Чевы, Менелая и Ван - Обеля.

Окружности, вписанные в сегмент.

1. Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S₁ касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N. Докажите, что:  а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;  б) длина касательной PQ к окружности S₁ равна PA. 

Решение

а) Пусть O и O₁ — центры окружностей S и S₁. Треугольники MO₁N и PON равнобедренные, причем  треугольник MO₁N равен треугольнику PON. Следовательно, точки P, M и N лежат на одной прямой.  б) Ясно, что  PQ² = PM ^. PN = PM ^. (PM + MN). Пусть K — середина хорды AB. Тогда  PM² = PK² + MK² и  PM ^. MN = AM ^. MB = AK² - MK². Поэтому  PQ² = PK² + AK² = PA². 

2. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A₁. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A₁, а стороны BC — в точке A₂. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.