Теорема Манелая

Проект на тему: «Теорема Менелая»

Проект выполнила: Клемина Елизавета Викторовна ученица 9 класса «В»

Цели и задачи данного проекта:

• Выявить теоретические положения для доказательства теоремы и научно обосновать способы ее доказательства.
• Проанализировать теорему и ее применение при решении задач
• Проверить эффективность и целесообразность применения теоремы при решении задач.

Кто же такой Менелай?

• Менела́й Александри́йский— древнегреческий математик и астроном.
• Главное сочинение Меналая — «Сферика» в трёх книгах. В I книге «Сферики» дается определение сферического треугольника и связанных с ним понятий.
• .Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему, известную сегодня как теорема Менелая .

Теорема Менелая

Сейчас мы более подробно ознакомимся с теоремой Менелая. Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — классическая теорема аффинной геометрии.

Понятие четырехсторонника

Речь идет о полном четырехстороннике - фигуре, образованной произвольными четырьмя прямыми, из которых никакие три не являются конкуррентными, и шестью точками их пересечения. На рисунке названные четыре прямые суть AE, BE, ВI, AF. Прямые АВ, EG и IF являются диагоналями четырехсторонника.

Теорема Менелая

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского. Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии.

Формулировка теоремы Менелая.

да

Доказательство теоремы

Следствия из теоремы Минелая

Применение теоремы Менелая. Выше мы рассмотрели теорему Менелая, теперь рассмотрим практическое использование данной торемы на примерах.

Задача 1.

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Задача 2.

Дано: В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найти отношение

Решение.

Задача 3.

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR - точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите

Решение:

Задачи для самостоятельного решения

1)Точка С1 и А1 делят стороны АВ и ВС треугольника АВС в отношении 1:2. Прямые СС1 и АА1 пересекаются в точке О. Найдите отношение, в котором прямая ВО делит сторону АС.

2)Точка А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2:1 и 1:2. Прямые АА1 и ВВ1пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника. ОВС.

3)В треугольнике АВС точки D и К лежат соответственно на сторонах АВ и АС, отрезки ВК и CD пересекаются в точке О, при этом ВО : ОК = 3:2 и CO:OD =2:1. Найти в каком отношении точка К делит сторону АС, т.е. АК : КС.

4)Точка D и F лежат на сторонах ВС и АС треугольника АВС, отрезки AD и BF пересекаются в точке О. Известно, что AF:FC =3:2 и ВО = OF. Чему равно отношение BD:DC?

Задачи для самостоятельного решения(2)

5)Используя теорему Чевы доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

6)Через точку М, взятую на медиане AD треугольника АВС, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найти отношение , если: а) М – середина отрезка AD; б) .

7)Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О.

Найдите отношение ОК:ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, МР = 7 см.

8)Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне треугольника как 4:3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

Вывод:

Теорема Менелая проста в понимании. Но трудности, связанные с освоением этой теоремы, оправданы ее применением при решении задач.

Замечательным свойством теоремы является то, что она может служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с ее помощью легко доказываются следующие утверждения:

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
• Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

Источники:

-https://ru.wikipedia.org/wiki/

-http://hijos.ru/2011/04/20/teorema-menelaya/

-https://wiki2.org/ru/

- https://www.berdov.com/docs/treugolnik/teorema-menelaya/

-http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000027/st091.shtml

- http://hijos.ru/2011/04/20/teorema-menelaya/

-https://studwood.ru/1105626/matematika_himiya_fizika/primenenie_teorem_menelaya_chevy_resheniya_zadach

-https://ege-ok.ru/2013/10/05/zadacha-na-podobie-i-teorema-minelaya-zadanie-s4 - Б.Орач «Теорема Менелая». Квант № 3, 1991. - Е. Качалкина « Применение теорем Чевы и Менелая», журнал «Математика в школе» №13,14 -2004.