Теорема Менелая

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №2 г. Владивостока»

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ (УРОК №2)

Теорема Менелая.

Пусть прямая a пересекает стороны АВ, АС и продолжение стороны AС треугольника АВС соответственно в точках С₁, А₁ и В₁, тогда справедливо соотношение

(*)

Тогда выполняется равенство:

Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник   Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки   и    причем на стороне   должна лежать точка   на стороне   – точка   и на продолжении   – точка 

Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник   от точки   к точкам   и   и затем возвращаемся в точку   Но по дороге нам встречаются точки   и   – их тоже включаем в формулу.

Задача №4. В треугольнике ABC проведена прямая, параллельная АС. Эта прямая пересекает сторону АВ в точке Р, медиану АМ – в точке Т, а сторону BС в точке К. Найдите длину АС, если РТ=3, ТК=5.

Р ешение.

По теореме Менелая для треугольника PKB и прямой AM имеем . (*)

PKAC, тогда из подобия треугольников ABC и PBК следует, что   . и . Подставим в (*), получим , значит, АС=11/8РК=11.

Ответ: АС=11.

З адача №5. (№ 26 ОГЭ). В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение. BE AD= K. Треугольник BAD равнобедренный, потому что биссектриса угла B (то есть – BK)  перпендикулярна основанию AD. AK = KD = 14. Это означает, что AB = BD = BC/2. Поскольку BE – биссектриса, то по её свойству AE = EC/2, а значит, АЕ=АС/3.

По теореме Менелая для треугольника BЕC и прямой АД имеем . Но KE + BK=28, отсюда BK = 21; KE = 7. 

По теореме Пифагора для треугольника AКB . По теореме Пифагора для треугольника AКЕ .

Ответ: AВ = 7√13; ВС=1413; AC = 21√5.

Задача №6. В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны BC равно 6.

а) Докажите, что BH: CH =1: 3.

б) Найдите площадь треугольника AMB.

Р ешение.

а) По теореме Менелая для треугольника АСН и прямой ВМ имеем .

б) По теореме Менелая для треугольника ВСМ и прямой КН имеем . Так как ВМ=25, то ВК=10, ВМ=15. По теореме Пифагора ВН=8, тогда СН=24, а ВС=32.

Из КНВ . . Ответ: 240.

Задача №7. В треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, BD — биссектриса угла ∠ABC, D лежит на AC. Известно, что ∠BDM=90. Найдите отношение AB:BC.

Р ешение. Продолжим прямую МD до пересечения с ВС в точке F. В треугольнике MBF BD – биссектриса и высота, а, значит, и медиана, то есть ВМ=BF. CF=BF-BC. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой MF имеем . (*)

Так как М – середина АВ, то BM=MA. BD — биссектриса угла B, тогда по свойству биссектрисы: . Для третьей дроби . Из (*) получим . Ответ: АВ: ВС=3:1.

Задачи для самостоятельного решения.

№1. В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD:DC = 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису (СЕ и AD пересекаются в точке О)?

Ответ: 3:1. Найти отношение площадей треугольников АОЕ и СОD.

№2. В остроугольном треугольнике АВС точка Е делит сторону ВС в отно­шении 2: 3, точка D делит сторону АС в отношении 4: 1. В каком отно­шении отрезок АЕ делит отрезок ВD?

Ответ: 5: 6.

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ (УРОК №2)

З адача №5. (№ 26 ОГЭ). В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.

З адача №6. В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны BC равно 6.

а) Докажите, что BH: CH =1: 3.

б) Найдите площадь треугольника AMB.

Задача №7. В треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, BD — биссектриса угла ∠ABC, D лежит на AC. Известно, что ∠BDM=90. Найдите отношение AB: BC.

Задачи для самостоятельного решения.

№1. В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD: DC = 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису (СЕ и AD пересекаются в точке О)?

Найти отношение площадей треугольников АОЕ и СОD.

№2. В остроугольном треугольнике АВС точка Е делит сторону ВС в отно­шении 2: 3, точка D делит сторону АС в отношении 4: 1. В каком отно­шении отрезок АЕ делит отрезок ВD?