Теорема синусов

Тема урока: «Теорема синусов. Решение треугольников»

Цели урока: показать применение теоремы косинусов при решении задач;

рассмотреть доказательство теоремы синусов, развивать логическое мышление при решении геометрических задач, пробудить интерес к изучению геометрии.

Ход урока.

I.Оргмомен

Эпиграф

«Вдохновение нужно в геометрии

не меньше, чем в поэзии»

(А.С. Пушкин)

II. Проверка усвоения ранее пройденного материала

1. Примените теорему косинусов к прямоугольному треугольнику. Что получилось?

c² =a² +b² + 2ab cosɤ, так как ɤ=90˚, то cos 90˚=0

c² =a² +b² +0

c² =a² +b² – теорема Пифагора

2.Объясните постановку знаков «±» в теореме косинусов.

Если угол противолежащий стороне острый, то 2ab cosɤ отнимают, а если угол тупой, то 2ab cos ɤ прибавляют.

cos (180˚-α)= - cos α

c² =a² +b² -2ab cos (180˚-α) = c² =a² +b² -2ab(-cos α) = a² +b² +2ab cos ɤ.

Если градусная мера угла больше 90˚, то в теореме знак минус меняется на плюс.

2. Перед вами различные треугольники. В каких случаях мы сможем применить теорему косинусов и что с помощью нее мы сможем найти?

Учащиеся устно обосновывают свой выбор, записывают формулы вычисления стороны или угла.

Вывод: Для применения теоремы косинусов необходимы следующие данные:

-величины трех сторон;

-две стороны и угол между ними.

В одной задаче нет необходимого набора данных, позволяющих решить задачу. Как же быть в этом случае? (Можно решить задачу с использованием синуса угла, если в треугольнике провести высоту).

III. Работа над новым материалом

Сегодня на уроке нам предстоит познакомиться еще с одной теоремой, применение которой возможно при решении задач, в которых необходимо найти стороны или углы треугольника.

1.Теорема (синусов):

Как вы думаете, что лежит в основе доказательства данной теоремы?

Как находится синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

sin α= ^{(противолежащий)}

Давайте данную теорему рассмотрим иначе, как интересную сказку. Ведь не забывайте:

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение».

(В. Произволов)

Прежде чем начать нашу историю, необходимо еле заметными линиями начертить остроугольный треугольник и обозначить все стороны и углы (чтобы избежать дальнейшей буквенной путаницы). Наша история начинается:

Жил-был катет. Хорошо жил, так как у него был обогреватель марки «sinɤ», который обогревал его от пяток до головы. Особенно катету нравился самый длинный тепловой лучик, который ласково гладил его по голове, согревал голову . Он даже имя ему дал «а». И так у катета вся жизнь была связана с лучиком и обогревателем.

Катет = а∙ sinɤ

Однажды катет задумался: «А нельзя ли еще приобрести себе обогреватель? А то нос мерзнет». Купил он новый обогреватель марки «sin α», подключил его и не нарадуется. Теперь самый длинный лучик ему и нос согрел, а в благодарность лучик получил имя «с» .

c sin α= Катет = а sinɤ

Ж ивет катет, в лучах обогревателя наслаждается теплом. Обогреватели его не только согрели со всех сторон, а и насквозь всего прогрели . Прошли тепловые лучи сквозь катет и разделили друг друга на части. Так обогреватель марки «sin α» поделил драгоценный лучик «a» на части, а «sinɤ» - поделил «с» С тех пор

Сказка ложь, да в ней намек, добрым молодцам урок!

Если сложно запомнить трудную информацию, попытайтесь творчески подойти к ее запоминанию, а для этого можно придумать свою увлекательную историю.

IV. Закрепление материала

Давайте рассмотрим, в каких случаях уместно применение теоремы синусов, для этого мы должны знать:

-две стороны и угол, лежащий напротив одной из них;

-два угла и сторону, лежащую напротив одного из них

Решение данной задачи у доски с подробным комментированием

РЭШ урок 15 тренировочные задания.

V. Обобщение

Давайте вспомним, какой путь в познании материала мы проделали, пока достигли теоремы синусов.

VI.Домашнее задание

Теорема синусов с доказательством, составить и решить задачу на использование теоремы синусов

VII. Рефлексия

Оцени качество своих познаний на уроке :

А) Все легко и понятно

Б) Кажется, что-то понял

В) Трудно, ничего не понял

П риложение

а

в

а

- 2ab cosɤ

а)

с

в

с

с

б)

в)

в)

+ 2ab cosɤ

г)

д)

Рис.1

Рис. 2

120˚

6

7

20

75

35

40˚

130˚

8

60˚

7

23

А С А С А С

а) б) в) г)

Рис.3

а) б)

Рис.4

а

а

с

sin ɤ

а)

sin ɤ

sin α

б)

в)

а)

г)

с

а

sin ɤ

sin α

Рис.5

Теорема синусов

Таблица В.М. Брадиса

Sin (180˚-α) = sin α

Sin α

прямоугольный треугольник

Рис.6

В се легко и понятно

Кажется, что-то понял

Трудно, ничего не понял

Рис.7