"Теорема Виета"

Теорема Виета

pptcloud.ru

Квадратное уравнение

• Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax 2 +bx+c=0,

где a, b, с  R (a  0).

Числа a, b, с носят следующие названия: a - первый коэффициент , b - второй коэффициент , с - свободный член.

Приведенное уравнение

• Если в уравнении вида:

ax 2 +bx+c=0,

где a, b, с  R

а = 1 , то квадратное уравнение вида x 2 +px+q=0 называется приведенным.

Теорема Виета

• Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x 2  +  px  +  q = 0  равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q .
• Т. е.  x 1  +  x 2  = – p  и    x 1 x 2  =  q

Применение теоремы Виета

• Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x 1  +  x 2 и x 1 x 2 .

Вычисление корней

• Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения:

x 2  + 2 x  – 8 = 0,

мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна – 2, а произведение должно равняться –8.

Пример

• Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
• Так, находя корни квадратного уравнения

x 2  – 7 x  + 10 = 0,

можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 10) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 7.

Решение

• Это разложение очевидно:

10 = 5  ×  2,

5 + 2 = 7.

• Отсюда должно следовать, что числа 2 и 5 являются искомыми корнями.