"Теорема Виета"

Тема урока:

«Теорема Виета»

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Цели урока:

• Познакомится с теоремой Виета
• Научится применять её для решения квадратных уравнений и для проверки

найденных корней

• Предоставить каждому ученику возможность проверить свои знания и повысить их уровень

Вспомним:

• Какое уравнение называется квадратным?
• Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
• Какое уравнение называется неполным квадратным?
• Какое уравнение называется приведенным?
• Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
• Какое выражение называется дискриминантом?
• От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Решить устно уравнения

х 2 – 36 = 0

х 1 = 6, х 2 = -6

у 2 +49 = 0

нет решения

х 2 – 7х = 0

х 1 = 0, х 2 = 7

5х 2 = 0

х = 0

Составьте уравнения,

корнями которых являются числа:

а) 0 и 3

х² - 3х = 0

б) 7 и – 7

х² - 49 =0

в) – 5 и 5

(х + 5)·(х - 5) = 0

Проблемы:

1. Решить устно уравнения:

х 2 – 2012х + 2011 = 0

х 2 – 377х + 750 = 0

2. Составить полное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

2 и 3; 157 и 1.

Открытие

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения

х 2 + p x + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Х 1 + Х 2 = -Р Х 1 • Х 2 = q

Поиск:

1.

Уравнение

1.

Уравнение

p

х 2 + 5х + 6=0

х 2 + 5х + 6=0

p

2.

2.

q

5

q

х 2 - 5х + 6=0

3.

х 2 - 5х + 6=0

3.

6

x 1

x 1

х 2 – 7х + 6=0

-5

4.

х 2 – 7х + 6=0

4.

x 2

-3

x 2

-7

х 2 + 7х + 6=0

х 2 + 7х + 6=0

6

-2

x 1 +x 2

x 1 +x 2

6

2

7

x 1· x 2

-5

x 1· x 2

6

3

6

6

5

1

-6

-1

7

6

6

-7

6

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый ученый Франсуа Виет (1540-1603)

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля.

В 1591 г. он ввел буквенные обозначения для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, что дало возможность записать общими формулами корни уравнения и свойства.

Его часто называют «Отцом алгебры».

Применение теоремы Виета

Уравнение

Уравнение

Дискриминант

1. х 2 – 9х +1=0

1. х 2 – 9х +1=0

Дискриминант

D = 77

Сумма

корней

2. х 2 +8х +10=0

2. х 2 +8х +10=0

Сумма

корней

D = 24

3. х 2 +3х – 10=0

Произведение корней

Произведение корней

9

3. х 2 +3х – 10=0

D = 49

1

- 8

4. х 2 – 6х – 7=0

4. х 2 – 6х – 7=0

10

5. х 2 +3х +5=0

- 3

D = 64

5. х 2 +3х +5=0

-10

D = -11

6

- 7

Применение теоремы Виета

Угадываем корни

Х 2 + 3Х – 10 = 0

Х 1 · Х 2 = – 10, значит корни имеют разные

знаки

Х 1 + Х 2 = – 3, значит больший по модулю

корень - отрицательный

Подбором находим корни: Х 1 = – 5, Х 2 = 2

Применение теоремы Виета

Составляем квадратное уравнение

Пусть Х 1 = 2, Х 2 = – 6 – корни квадратного

уравнения

Х 1 + Х 2 = – 4, Х 1 · Х 2 = – 12, тогда по теореме Виета

Х 2 + 4Х – 12 = 0 – искомое квадратное уравнение

Решите сами !

1) x 2 – 6 x + 8 = 0

2) x 2 –10 x +21 = 0

3) x 2 –8 x – 20 = 0

4) x 2 + 9 x +14 = 0

5) x 2 – 7 x -1 8 = 0

6) x 2 – 3 x -2 8 = 0

Ответ: 2; 4

Ответ: 3; 7

Ответ: -2; 10

Ответ: - 2; - 7

Ответ: 9; - 2

Ответ: 7; - 4

Проблемы:

1. Решить устно уравнения:

х 2 – 2012х + 2011 = 0

х 2 – 377х + 750 = 0

2. Составить полное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

2 и 3; 157 и 1.

В.В. Маяковский

«Если звёзды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно»

Зачем нужна теорема Виета?

С её помощью можно :

• найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его
• зная один корень, найти другой
• найти корни подбором
• определить знаки корней уравнения
• проверить, правильно ли найдены корни уравнения

Чосер – английский поэт средних веков, сказал:

“ Посредством уравнений, теорем, Я уйму разрешил проблем”.

Выучив теорему Виета, вы тоже разрешите для себя уйму всяких проблем .

Домашнее задание:

№ 580, № 583, № 584

Реферат «Франсуа Виет»