Теория по геометрии к ОГЭ. Задание 19.

Теория по геометрии к ОГЭ. Задание 19.

Аксиомы

• Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

• Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.

• Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

• Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

• Любые три прямые имеют не более одной общей точки.

• Через любую точку проходит более одной прямой.

• Через любую точку проходит не менее одной прямой.

• Через любые две точки можно провести прямую.

• Через любые три точки проходит не более одной прямой.

• Через любые три точки проходит не более одной прямой.

Углы

• Вертикальные углы равны.

• Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.

• Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.

• Сумма смежных углов равна 180°.

• Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.

• Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внешние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

• Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

• Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внешних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

• Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.

• Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

Треугольники

• Сумма углов любого треугольника равна 180° .

• Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон данного треугольника. (неравенство треугольника)

• Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

• Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (1 признак равенства треугольников)

• Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (2 признак равенства треугольников)

• Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (3 признак равенства треугольников)

• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (1 признак подобия треугольников)

• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (2 признак подобия треугольников)

• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (3 признак подобия треугольников)

• Напротив равных углов лежат равные стороны.

• Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

• Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

• Площадь треугольника равна полупроизведению двух сторон треугольника на синус угла между ними.

• Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой (то есть делит основание на две равные части) и высотой (перпендикулярна основанию).

• Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

• В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.

• Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

• Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (теорема косинусов).

• Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.

• Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. (теорема синусов)

• Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

• Один из углов треугольника всегда не превышает 60°.

• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.

• Биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

Четырехугольники

• Сумма углов четырехугольника равна 360°.

• Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

• Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

• В параллелограмме противолежащие углы равны.

• В параллелограмме противолежащие стороны равны.

• В параллелограмме сумма смежных углов равна 180°.

• Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, из которых они выходят, этот параллелограмм является ромбом.

• Если в параллелограмме диагонали равны, этот параллелограмм является прямоугольником.

• Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, этот прямоугольник является квадратом.

• Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

• Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.

• Диагонали ромба перпендикулярны.

• Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

• Диагонали квадрата делят его углы пополам.

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

• Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.

• Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

• Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

• Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

• Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

• Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.

• Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

• Трапеция – четырехугольник две стороны которого параллельны, а две другие нет.

• У равнобедренной трапеции диагонали равны.

• У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям.

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

• Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

• Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

Окружности

• В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.

• Все диаметры окружности равны между собой.

• Все радиусы окружности равны между собой.

• Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

• Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

• В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

• Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис.

• Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.

• Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

• Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

• Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.

• Центр описанной окружности может находиться внутри треугольника (если он остроугольный), на стороне (если он прямоугольный) и вне треугольника (если он тупоугольный).

• В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

• Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

• Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

• Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

• Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то окружности касаются в одной точке.

• Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек.

• Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

• Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

• Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

• Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.

• Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

• Через любые три точки проходит не более одной окружности.

• Если четырехугольник вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.

• Если в четырехугольник вписана окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны.

Симметрия

• Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.

• Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

• Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.

• Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

• Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.