Теория . Решение дробно-рациональных уравнений.

Решение дробно-рациональных уравнений

Справочное пособие

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями.

(Напомним: рациональными выражениями называют целые и дробные выражения без радикалов, включающие действия сложения, вычитания, умножения или деления - например: 6x;  (m – n)2; x/3y и т.п.)

Дробно-рациональные уравнения, как правило, приводятся к виду:

, где P(x) и Q(x) – многочлены.

Для решения подобных уравнений умножить обе части уравнения на Q(x), что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, при решении дробно-рациональных уравнений необходима проверка найденных корней.

Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную.

Примеры целого рационального уравнения:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
— = 2x – 10
4

Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным.

Пример дробного рационального уравнения:

      15
x + — = 5x – 17
       x

Дробные рациональные уравнения обычно решаются следующим образом:

Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений.

Пример 1. Решим целое уравнение

x – 1      2x        5x
—— + —— = ——.
   2         3           6

Решение:

Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному:

3(x – 1) + 4x          5х
—————— = ——
            6                 6

Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно опустить. Тогда у нас получится более простое уравнение:

3(x – 1) + 4x = 5х.

Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены:

3х – 3 + 4х = 5х

3х + 4х – 5х = 3

2х = 3

х = 3:2

x = 1,5.

Пример решен.

Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение

x – 3     1        x + 5
—— + — = ———.
x – 5     x       x(x – 5)

Решение:

Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак:

 х² – 3х         x – 5            x + 5
———   +  ———    =  ———
 x(x – 5)      x(x – 5)         x(x – 5)

Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

х² – 3x + x – 5 = x + 5

х² – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

х² – 3x – 10 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5.

Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения.

При  x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения.

При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: x = –2

Ещё примеры

Пример 1.

x₁ =6, x₂= - 2,2.

Ответ:-2,2;6.

Пример 2.

нет решений

Ответ: нет решений.

Пример 3.

x = -8

Ответ: -8.