Технологическая карта урока "Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ"

Тип урока

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Тригонометрические уравнения»

Авторы УМК

А.Г. Мордкович и др.

Цели урока

1)деятельностная —формирование способности учащихся к осуществлению контрольной функции;

2)образовательная — контроль и самоконтроль изученных понятий : тригонометрическое уравнение, корень уравнения, область допустимых значений уравнения и алгоритм решения уравнения;

3)развивающая—формирование ключевых компетенций: информационных, учебно-познавательных, ценностно-смысловых; развитие

• навыков самоконтроля, адекватной самооценки;

• умения рассуждать, делать выводы;

• логического мышления, внимания, памяти;

• математической речи учащихся.

Планируемы образовательные результаты (личностные, метапредметные, предметные)

Предметные: уметь решать тригонометрические уравнения.

Личностные: уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности; осознавать ответственность за общее дело; понимать причины успеха/неуспеха в учебной деятельности.

Метапредметные: регулятивные -уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану, оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предположение; коммуникативные – уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения и следовать им; уметь выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью; познавательные - уметь ориентироваться в своей системе знаний(уметь отличать новое от уже известного); добывать новые знания; уметь осознанно и произвольно строить речевые высказывания; самостоятельно создавать алгоритмы деятельности; строить логическую цепочку рассуждений.

Оборудование

Интерактивная доска, доска, компьютер, мультимидийный проектор, карточки с индивидуальными заданиями. Листы контроля и бланки ответов. е

Образовательные ресурсы

• Учебник, задачник

• Презентация « Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»

Этапы урока.

Задачи этапов урока

Деятельность учителя

Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов

Деятельность учащихся

Планируемые результаты

личностные

метапредметные

1

2

3

4

5

6

Организационно-

мотивационный.

Цель.

Сообщить тему, цели урока и способы деятельности.

Создать благоприятный психологический настрой на работу.

Приветствие учащихся.

Итак, сегодня мы завершаем изучение большой темы «Тригонометрические уравнения», которая обязательно входит в задания ЕГЭ, и цель нашего урока – повторить и систематизировать полученные знания по данной теме и подготовиться к контрольной работе и успешной сдаче экзамена.

Приветствие учителя

Самоопределение;

Целеполагание,

планирование

учебного

сотрудничества с

учителем и

сверстниками

Актуализация практических и

теоретических знаний.

Цель.

Повторить теоретический материал,

актуализировать опорные знания и способы деятельности

Предлагает повторить некоторые теоретические вопросы по данной теме.

(фронтальный опрос, работа с презентацией).

Задает вопросы:

• Что значит решить уравнение?

• Какие основные методы решения уравнений?

• Что надо знать для решении тригонометрических уравнений?

Предлагает повторить необходимые для урока сведения. Для каждого варианта - задания на слайде, продолжить каждую запись. Время выполнения 3 минуты.

1 вариант

2 вариант

Принимают активное участие в беседе, отвечают на поставленные вопросы

Решить уравнение- значит найти его корни или доказать, что их нет.

Основные методы:

-метод разложения на множители;

-метод замены переменной;

-функционально-графический метод;

-Решение простейших тригонометрических уравнений;

-формулы преобразования тригонометрических выражений;

-Табличные значения тригонометрических функций

Соединить вопрос с верным ответом

Ответы 2 варианта

Осуществляют самооценку

- Осуществляют решение учебной задачи под руководством учителя

Решение простейших тригонометрических уравнений

Цель.

Повторить на практике форму записи решения простейших тригонометрических уравнений и основные формулы преобразования.

Предлагает решить простейшие уравнения в 1-й части экзаменационной работы, без умения решать их не справиться с более сложными уравнениями.

- Выбрать вариант ответа и указать применяемую формулу.

—Какие формулы надо применить, чтобы свести следующие уравнения к простейшим?

- С какими затруднениями встретились?

Как их разрешили?

Ответ1) Частный случай.

Ответ 3)

Формула двойного угла для косинуса

Формула для синуса разности аргументов.

Ответ 1)

Формулы приведения.

Ответ 1)

Основная формула

1+ tg² х=

Ответ 2)

Формула двойного угла для синуса. Выносим косинус за скобки. В скобках синус равен 1,5, что за границами области значений.

Ответ 4)

Ответ 2). Разложим на множители. Для выбора корней воспользуемся окружностью.

Понимают причины успеха/

неуспеха

в учебной деятельности

Осуществлять учебные действия по намеченному плану

Работа в группах.

Цель:

Повторить виды уравнений и методы их решения

Класс разбит на группы из 5-7 человек. В каждой группе есть ученик -консультант.

Предлагает:

-Каждой группе несколько уравнений. Необходимо, если возможно,определить:

• вид уравнений ;

• метод, который будет использоваться в решении этих уравнений.

Решить уравнения одно - два из них (по выбору группы) записать на доске и прокомментировать решение.

Какие преобразования надо сделать, чтобы перейти к простейшему уравнению?

Осуществляет индивидуальный контроль

Какие преобразования надо сделать, чтобы перейти к простейшему уравнению?

Осуществляет индивидуальный контроль

Какие преобразования надо сделать, чтобы перейти к простейшему уравнению?

Осуществляет индивидуальный контроль

Какие преобразования надо сделать, чтобы перейти к простейшему уравнению?

Осуществляет индивидуальный контроль

1 группа Уравнения, решаемые алгебраическими методами (методом разложения на множители, методом введения новой переменной).

2 группа Однородные уравнения и сводимые к ним.

3 группа Неоднородные уравнения.

4 группа Уравнения, решаемые при помощи преобразований, на основе формул преобразования сумм в произведение, произведения в сумму, понижения степени.

Учащиеся решают уравнения сначала в тетрадях.

Представители групп решают уравнения на доске, комментируя свои действия.

Обязательно называется метод решения

1.а) заменить  на а, где аЄ [-1;1];

б) формула двойного угла для синуса, выносим  за скобки;

в) заменить  на, учесть ОДЗ и решить квадратное уравнение относительно тангенса.;

г) применить формулу двойного угла для косинуса и решить квадратное уравнение относительно косинуса;

д) ) применить формулу двойного угла для косинуса и решить квадратное уравнение относительно синуса.

2. Так как синус и косинус не могут одновременно равняться 0, то делим левую и правую часть уравнения : а) на  ;

б) сведем уравнение к однородному, умножив 2 на + =1, затем приводим подобные слагаемые и делим на;

в) переносим все слагаемые в левую часть уравнения и делим на;

г) выносим  за скобку и приравниваем каждый множитель к нулю.

3.При решении уравнений применяем метод введения вспомогательного аргумента.

А + В =С,

где С=.

4. Для решения уравнений сначала применяем формулы преобразования сумм в произведение, произведения в сумму, понижения степени.

а) в левой части уравнения косинус разности х и , формула приведения sin ( п + )

б) формула разности косинусов и затем разложении на множители;

в) формула произведения синуса и косинуса, затем формула суммы синусов и равенство нулю произведения двух функций;

г) формулы понижения степени, суммы косинусов и разложение на множители. Получим произведение равное нулю;

д) выносим за скобки в скобке получим , а затем получим формулу двойного аргумента и в левой части 

Дают оценку деятельности по ее результатам, (самооценка, оценивание результатов деятельности товарищей)

Планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей, оформлять решение.

)

°Самостоятель

ное решение уравнений.

Цель:

Аргументированный выбор формул преобразования левой части уравнения для его решения.

- Предлагает выбрать для самостоятельного решения не менее трех уравнений из подходящего для вас столбика. В итоге решения выработать рекомендации по решению тригонометрических уравнений. Для этого ответьте на вопросы:

- Какие действия вы предпринимаете, если при решении уравнения:

а) функции разные, но аргумент общий;

б) аргументы функций отличаются в 2 раза; в 4 раза; в) есть функции одного аргумента степени выше первой;

г) когда можно применить метод вспомогательного аргумента;

д) когда применяем преобразования, на основе формул преобразования сумм в произведение, произведения в сумму, понижения степени?

За уравнения :

1-го столбика-«3»,

2-го столбика- «4»,

3-го столбика-«5»

Уравнение на «3»

_1);

_{2) ;}

₃₎

4) _;

_{5) ;}

_{6) ;}

₇₎

_{Уравнения на «4»}

_1);

_2);

_{3) ;}

_{4) ;}

₅₎

_{6) .}

_{Уравнения на «5»}

_{1) ;}

_{2) ;}

_{3) ;}

_{4) ;}

_{5) ;}

_{6) .}

Предлагают формулы преобразования.

Самостоятельно выбирают уравнения для решения

-Для  и  применяем формулы 2-го аргумента. Сводим функции к одному аргументу.

- Применяем формулы приведения, чтобы перейти к одному

аргументу.

- Уравнения решаем при помощи преобразований, на основе формул преобразования сумм в произведение, произведения в сумму.

- Уравнения решаем при помощи преобразований, на основе формул преобразования сумм в произведение, произведения в сумму, понижения степени.

Решая уравнения, учащиеся выдвигают рекомендации, которые понадобились им при решении уравнений

Осуществляют самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности

Выдвигать версии, определять средства решения уравнений, планировать деятельность

Домашнее задание.

Составить тест из 5-7 уравнений разной степени сложности. Предложить к тесту ответы.

Осознание необходимости работы

Выбирают задание из предложенных учителем с учетом индивидуальных возможностей

Итог урока.

Цель:

Выработка рекомендаций для решения тригонометрических уравнений

Обобщим те рекомендации, которые понадобились вам при решении уравнений. В итоге получаем.

Учитель формулирует начало предложения, а учащиеся заканчивают его. Варианты ответов предлагаются. Выбираем подходящий.

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений.

1. Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции…

2. Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы…

3. Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести…

4. Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень…

Пример:

1. Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3)…

2. Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3)…

3. Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента…

Пример:

1. Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель)…

Например:

Варианты дополнений:

1. используя формулы без изменения аргументов.

2. используя формулы двойного аргумента.

3. к промежуточному двойному аргументу.

4. используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения

5. попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.

6. попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.

7. умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:

8. то его можно представить в виде значений функции угла.

Проводят самооценку своей деятельности на уроке.

Осознавать причины своего успеха или неуспеха, находить выход из ситуации неуспеха.

Рефлексия.

Подходит к концу наш урок, мне кажется, что

сегодня многие из вас сделали хоть маленькое открытие, кто-то решил без ошибок, для кого-то стали яснее методы решения

- Мне хотелось, чтобы вы продолжили предложение:

«Сегодня я на уроке хорошо понял(а)…»

«Сегодня на уроке для меня было важным…»

Варианты:

• Классификация уравнений. 

• Методы решения уравнений

• Без ошибок решения

• Решать уравнения для успешной сдачи ЕГЭ

• Усердие

• Внимание

• Приводить мысли в порядок.

_{- Спасибо.}

_{До свидания}

Учащиеся дают ответы, подводя итог урока.

До свидания

Проводят самооценку своей деятельности на уроке.

- Дают оценку деятельности по ее результатам,