Просмотр содержимого документа
«Тема 16. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ»
Тема 14. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Найти область сходимости степенного ряда: .
РЕШЕНИЕ:
Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:
По признаку Даламбера этот ряд сходится при тех значениях , при которых выполняется условие:
В нашем случае
Тогда:
По признаку Даламбера, чтобы ряд сходился, должно выполняться условие
Таким образом, исходный ряд сходится на промежутке .
Исследуем сходимость этого ряда на концах промежутка.
При ряд принимает вид:
Это гармонический ряд , который расходится. Поэтому при наш ряд будет расходящимся.
При ряд принимает вид:
Это знакочередующийся ряд, исследуем его на абсолютную и условную сходимость.
Составляем ряд из абсолютных значений:
Получили опять расходящийся гармонический ряд. Следовательно абсолютной сходимости нет. Исследуем на условную сходимость по признаку Лейбница:
1.
- каждый последующий член ряда меньше предыдущего, поэтому первое условие признака Лейбница выполняется.
2.
Второе условие признака Лейбница также выполняется: предел общего члена ряда равен нулю. Поэтому данный ряд будет условно сходиться.
Таким образом, область сходимости исходного ряда будет: .
Разложить функцию в ряд Маклорена.
РЕШЕНИЕ:
1 способ.
Используем формулу непосредственного разложения функции в ряд Маклорена:
Находим производные заданной функции:
………………
Находим значение функции и производных при :
……………
Подставляем полученные значения в формулу для разложения функции в ряд Маклорена:
2 способ:
Представим
Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена для функции :
Тогда разложение функции будет:
Имеем для заданной функции:
Нетрудно видеть, что результат, полученный обоими способами, совпадает.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
9.1. Найти область сходимости степенного ряда:
а) б)
в) г)
д) е) ж)
з)
9.2. Разложить функцию в ряд Маклорена:
а) б) в) г) д)
е) ж) з)
4