Теорема Безу. Схема Горнера и ее применение

Теорема Безу. Схема Горнера и ее применение

Пусть F_n(x)= aⁿx_n +a _n-1x^n-1+...+ a₁x +a₀ -многочлен относительно x степени n, где a₀, a₁,...,a_n –данные числа, причем a₀ не равно 0. Если многочлен F_n(x) разделить с остатком на двучлен x-a, то частное (неполное частное) есть многочлен Q_n-1(x) степени n-1, остаток R есть число, при этом справедливо равенство F_n(x)=(x-a) Q_n-1(x) +R. Многочлен F_n(x) делится нацело на двучлен (x-a) только в случае R=0.

Теорема Безу: Остаток R от деления многочлена F_n(x) на двучлен (x-a) равен значению многочлена F_n(x) при x=a, т.е. R= P_n(a).

Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Вычисление коэффициентов многочлена и остатка записывается в виде таблицы, которая называется схемой Горнера.

Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда частное равно двучлену  x–a.

Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837), английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен   х - а   (схема Горнера).

Вывод общей формулы для схемы Горнера.

Разделить с остатком многочлен f(x) на двучлен (x-c) значит найти такой многочлен q(x) и такое число r, что f(x)=(x-c)q(x)+r

Запишем это равенство подробно:

f₀xⁿ + f₁ x^n-1 + f₂ x^n-2 + ...+f_n-1 x + f_n =(x-c) (q₀ x^n-1 + q₁ x^n-2 + q₂ x^n-3 +...+ q_n-2 x + q_n-1 )+r

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

Демонстрация схемы Горнера на примере.

С помощью схемы Горнера разделим с остатком многочлен f(x) = x³ - 5x² + 8 на двучлен x-2.

f(x) = x³ - 5x² + 8 =(x-2)(x²-3x-6)-4, где g(x)= (x²-3x-6), r = -4 остаток.

Разложение многочлена по степеням двучлена.

Используя схему Горнера, разложим многочлен f(x)=x³+3x²-2x+4 по степеням двучлена (x+2).

В результате должны получить разложение f(x) = x³+3x²-2x+4 = (x+2)(x²+x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2)³ -3(x+2)² -2(x+2)+12

Схему Горнера часто используют при решении уравнений третьей, четвертой и выших степеней, когда удобно разложить многочлен на двучлен x-a. Число a называют корнем многочлена F_n(x) = f₀xⁿ + f₁ x^n-1 + f₂x^n-2 + ...+f_n-1 x + f_n , если при x=a значение многочлена F_n(x) равно нулю: F_n(a)=0, т.е. если многочлен делится нацело на двучлен x-a.

Например, число 2 является корнем многочлена F₃(x)=3x³-2x-20, так как F₃(2)=0. это означает. Что разложение этого многочлена на множители содержит множитель x-2.

F₃(x)=3x³-2x-20=(x-2)(3x²+6x+10).

Любой многочлен F_n(x) степени n 1 может иметь не более n действительных корней.

Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если старший коэффициент уравнения равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, целые.

Разделить многочлен на двухчлен столбиком