Теорема о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности.

Оценка: на уроке оценивают результаты своей работы

Синтез: формулируют теорему о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности, применяют свойства

Анализ: изучают теорему о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности, анализируют главные составляющие темы

Применение: решают задачи на применение теорему о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности

Понимание: обсуждают теорему о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности

Знание: рассказывают теорему о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности

Учебно-воспитательные задачи:

Образовательная:

познакомить учащихся с теоремой о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности, обеспечить усвоение новых знаний по данной теме

Развивающая: развитие способности выражать мысли, познавательных способностей, развитие логического мышления, развитие умений вычленять главное в учебном материале

Воспитательная: способствовать выявлению, раскрытию способностей учащихся, побуждать их к применению полученных знаний, побуждать учащихся к проявлению инициативы, побуждать к продуктивному мышлению

Результаты обучения:

Учащиеся знают: теорему о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности

Учащиеся умеют:, решать задачи на применение теоремы о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности, выполнять чертеж

Этапы урока

Содержание этапа

Оргмомент.

Задачи: обеспечить нормальную внешнюю обстановку на уроке, психологически подготовить детей к общению

Приветствие

Проверка подготовленности к уроку

Организация внимания школьников

Ознакомление с планом проведения урока

Проверка домашнего задания.

Задачи: установить правильность, полноту и осознанность выполнения всеми учащимися домашнего задания, выявить пробелы в знаниях, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы

Выявление степени усвоения заданного учебного материала

Устный опрос.

Индивидуальный опрос.

Ликвидация обнаруженных недостатков.

Вызов.

Задачи: обеспечить включение школьников в совместную деятельность по определению целей учебного занятия.

Сообщение темы урока

Формулирование цели совместно с учениками

Показ значимости изучаемого материала

Постановка проблемы

Актуализация знаний и умений

Задачи: психологическая подготовка ученика: сосредоточение внимания, осознание значимости предстоящей деятельности, возбуждение интереса к уроку; учащиеся воспроизводят известные им знания, осознают их, обобщают факты, связывают старые знания с новыми условиями, с новыми данными и т.д. 

Актуализация знаний и умений

Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания, например: 2-5.

Приложение 1

Ответы: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

Ответы: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Осмысление

Изучение нового материала.

Задачи: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание изучаемого материала, осознание своих способов проработки учебной информации

У. Запишем тему урока и раз­берем задачу по готовому черте­жу устно,(рис. 31)

У. В окружности проведены ди­аметр АС, хорды BD, СВ и AD и касательная CN, которая образует с продолжением хорды AD угол 30°.

Найти DBC.

Рассуждения по задаче:

Рис. 31

1) Как называется угол DBC, на какую дугу он опирается?

2) Что можно сказать об угле CAN?

3) Свойство касательной CN.

4) Как можно вычеслить величину угла CAN и почему?

Вывод: DBC = 60°

Во время рассуждений отмечаем на чертеже равные углы, а также ACN = 90°. Далее предлагаем рассмотреть треугольники ВСМ и AMD. Эти треугольники подобны (можно подсказать, если не увидят сами).

Для доказательства подобия треугольников надо вспомнить призна­ки подобия.

На чертеже уже отмечены равные углы CBM = CAD (опираются на одну дугу). Остается только заметить вертикальные углы:

ВМС = AMD, ВСМ ~ ∆AMD (по двум углам).

Что нужно сказать про соответственные стороны подобных треугольников? Составьте пропорцию:

BMAM = CMDM = BCAD.

У. . Чем являются в окружности отрезки, которые вошли в пропорцию?

Д. Части хорд и диаметра.

У. То есть можно предположить, что есть связь между пере­секающимися хордами в окружности.

Сформулируем теорему: если две хорды окружности пересе­каются, то произведение отрезков одной хорды равно произве­дению отрезков другой хорды.

Считаем, что необходимо рассмотреть теорему о секущих .

Готовим чертеж для теоремы и выясняем, что понимаем под секу­щей к окружности: прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Записываем формулировку теоремы: если из точки, лежащей

вне окруж­ности, проведены две секущие, то произведения секущей на свои внешние части равны. (Или: если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно,

то АР • BP = = CP-DP.)

Дано: BP и DP - секущие (рис. 32).

Доказать: BP • АР = PD • PC.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное постро­ение: ВС nAD.

РВС = PDA (вписанные, опира­ются на uАС).

/P - общий.

∆РВС ~ ∆PDA (по двум углам)

Запишем пропорцию:

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC • PD = AP• BP.

Продолжим рассмотрение взаимного рас­положения секущих и окружности. Если из­менить данный чертеж таим образом, что секущая РВ займет положение касательной, то наша теорема будет формулироваться так: если из одной точки вне окружности проведены секущая и касательная к этой окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

 P Итак, надо доказать, что BP² = PD • PC.

Проведем хорды ВС и BD.

BDC = ½ uВС (как вписанный);

СВР = ½ uВС (угол между касательной и хордой), следовательно

BDC = CBP.

∆BPD ~ ∆CPB по двум углам.

Запишем пропорцию:

BD/BC = BP/PC =PD/BP, значит BP^{2= PC} • PD.

Можно, записав формулировку теоремы, решить задачу № 670 (Ата- насян) и таким образом провести доказательство теоремы. Так как прин­цип доказательства повторяется, во всех трех теоремах он основан на подобии, то можно попросить провести доказательство у доски одного из учащихся.

Закрепления новых знаний и умений.

Задачи: обеспечить повышение уровня осмысления учащимися изученного материала, глубины его усвоения

Задача 1

KL и MN- секущие (рис. №34). Какое свойство можно сформулировать? (Обсуждаем и готовим чертеж, решаем задачу по этому чертежу.)

Задача (Дидактические материалы, автор Мельникова):

Хорды MN и КL пересекаются в точке С. Определите длину отрезка CL, если KC = 3см, МС = 3 см; Сн = 9 см.

Решение:

МС • СН = КС • CL (по свойству хорд окружности),

CL = (MC•CH):KC, CL = (2•9) : 3, CL = 6 (см).

Ответ: 6 см.

По этому чертежу решаем ещё одну задачу, изменив данные:

KL = 14 дм, СМ = 4 дм, СН = 12 дм.

Найти: КС.

Решение:

МС • Сн = КС • CL. Нам не даны отрезки КС и CL, но дан весь отрезок KL.

Пусть КС = х(дм), тогда CL= (14-x)дм.

Составим уравнение: 4• 12 = (14- х)• х,

х² – 14х: + 48 = О,

х₁ = 6,

х₂ = 8.

КС = 6 дм, тогда CL = 8 дм (или наоборот).

Ответ: 6 дм; 8 дм.

Проверка новых знаний

Задачи: установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления

Вопросы в конце темы

Решение №

Коррекция знаний.

Задачи: скорректировать выявленные проблемы

Организация деятельности учащихся по коррекции выявленных недостатков

Повторное разъяснение учителя.

Помощь эксперта.

Подведение итогов. Рефлексия.

Задачи: инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, дать оценку работе отдельных учащихся и всего класса

Мобилизация учащихся на рефлексию. . Листок рефлексии

Мое настроение», рабочая тетрадь, стр. .

Что понравилось? Что узнал нового? Что хотел бы узнать? Что не понял?

Рейтинг:  = отлично  = хорошо = плохо

Выставление оценок.

1. Угол называется вписанным...

2. Угол называется центральным…

3. Градусная мера дуги…

4.Дуге, величиной 180°, соответствует вписанный угол…

5.Удвоенная градусная мера вписанного угла равна..

6. Вписанный угол равен 90°…

7. Два вписанных угла, опирающихся на одну дугу…

8.Угол между касательной и хордой, проведенной в точке касания…

9. Градусная мера дуги, заключенной между сторонами вписанного угла…

10. полуокружность имеет градусную меру…

1.…градусной мерой дуги, на которую он опирается.

2.…если он опирается на диаметр.

3.…равен половине дуги, заключенной между ними.

4.…имеют одинаковую градусную меру.

5.…в 2 раза больше его градусной меры.

6.…равную 180°

7.…если его вершина является центром окружности.

8.…имеющий градусную меру 90°.

9.…если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

10.…равна градусной мере соответствующего центрального угла.

1. Угол, образованный двумя хор­дами, выходящими из одной точ­ки окружности...

2. Угол, образованный двумя ра­диусами...

3. Градусная мера вписанного угла...

4. Угол, опирающийся на диаметр...

5. Вписанные углы имеют одина­ковую градусную меру, если...

6. Градусная мера дуги...

7. Угол между касательной и хор­дой...

8. Дуга, заключенная между сто­ронами вписанного угла...

9. Касательная к окружности...

10. Градусная мера центрального угла…

1....равен 90°.

2....равен половине дуги, заклю­ченной между ними.

3....равна удвоенной градусной мере этого угла.

4....называется центральным углом.

5....перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

6....называется вписанным углом.

7....равна градусной мере дуги, зак­люченной между его сторонами.

8....равна половине дуги, на ко­торую он опирается.

9....равна градусной мере соот­ветствующего центрального угла.

10....они опираются на одну и ту же дугу.

1.Угол является вписанным...

2. Угол является центральным...

3. Два плоских угла с общими сто­ронами...

4.Градусная мера дуги...

5.Градусная мера центрального угла...

6.Удвоенная градусная мера впи­санного угла равна...

7.Вписанный угол равен 90°...

8.Два вписанных угла, опираю­щихся на одну дугу...

9.Угол между касательной и хор­дой, проведенной в точку каса­ния...

10.Градусная мера дуги, заклю­ченной между сторонами вписан­ного угла...

1....равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

2....если он опирается на диаметр.

3....имеют одинаковые градусные меры.

4....градусной мере дуги, заклю­ченной между его сторонами.

5....равен половине дуги, заклю­ченной между ними.

6.…в два раза больше его градус­ной меры.

7....если он образован радиусами.

8....называются дополнительными.

9....если он образован хордами, проведенными из одной точки ок­ружности.

10....равна градусной мере соот­ветствующего центрального угла.

1. Угол, образованный двумя хор­дами, выходящими из одной точ­ки окружности...

2. Угол, образованный двумя ра­диусами...

3. Градусная мера вписанного угла...

4. Угол, опирающийся на диаметр...

5. Вписанные углы имеют одина­ковую градусную меру, если...

6. Градусная мера дуги...

7. Угол между касательной и хор­дой...

8. Дуга, заключенная между сто­ронами вписанного угла...

9. Касательная к окружности...

10. Градусная мера центрального угла…

1....равен 90°.

2....равен половине дуги, заклю­ченной между ними.

3....равна удвоенной градусной мере этого угла.

4....называется центральным углом.

5....перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

6....называется вписанным углом.

7....равна градусной мере дуги, зак­люченной между его сторонами.

8....равна половине дуги, на ко­торую он опирается.

9....равна градусной мере соот­ветствующего центрального угла.

10....они опираются на одну и ту же дугу.