Теорема Пифагора (презентация к уроку)

«Доказательства теоремы Пифагора»

Выполнил ученик 8 «В» класса

Цветков Валерий

История теоремы.

Древний Китай

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

" Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Древний Египет

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство

3² + 4² = 5²

было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея)

По мнению Кантора гарпедонапты , или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести

их способ построения. Возьмем

веревку длиною в 12 м. и привяжем

к ней по цветной полоске на

расстоянии 3м. от одного конца и

4 метра от другого .

Прямой угол окажется

заключенным между сторонами

длиной в 3 и 4 метра.

Древний Вавилон

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян . В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.

Древняя Индия

Геометрия у индусов , как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

Голландия

Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Другие формулировки теоремы.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так:

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу" .

Доказательства теоремы Пифагора.

• Простейшее доказательство.

  Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах- по два.

• Доказательства методом разложения.

Доказательство Эпштейна

Начнем с доказательства Эпштейна ; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF .

Доказательство .

• Проведем прямую EF, на которой лежат диагонали

двух квадратов, построенных на катетах треугольника

и проведем прямую CD перпендикулярно EF через вер-

шину прямого угла треугольника.

• Из точек А и В Продлим стороны квадрата, постро-

енного на гипотенузе треугольника, до пересечения с EF.

• Соединим полученные на прямой EF точки с противо-

лежащими вершинами квадрата и получим попарно рав-

ные треугольники.

• Заметим, прямая CD делит больший квадрат на две

равные прямоугольные трапеции, которые можно разбить

на треугольники, составляющие квадраты на катетах. И

получим квадрат со стороной, равной гипотенузе треугольника.

Теорема доказана.

• Доказательство Нильсена.

1. Продлим сторону АВ квадрата, построенного на гипотенузе треугольника.

2. Построим прямую EF, параллельную ВС.

3. Построим прямую FH, параллельную АВ.

4. Построим прямую из точки D, параллельную СН.

5. Построим прямую из точки А, параллельную СG

6. Проведем отрезок MN, параллельный СН

7. Так как все фигуры, полученные в большем треугольнике равны фигурам в квадратах, построенных на катетах, значит площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.

Теорема доказана.

E

F

H

С

В

M

N

G

А

D

• Доказательство Бетхера.

• Проведем прямую, на которой лежат диагонали квадратов, построенных на катетах треугольника и опустим из вершин квадратов параллельные отрезки на эту прямую.
• Переставим большие и маленькие части квадратов, расположенные над осью.
• Разобьем полученную фигуру как указанно на рисунке и расположим их так, чтобы получился квадрат, сторона которого равна гипотенузе треугольника.

Теорема доказана.

Спасибо за внимание!