Տրամաբանություն

Թեմա՝

Անհատական աշխատանքը՝ Արաքսյա Ավագյանի

ԳՅՈՒՄՐԻ 2019թ․

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Ներածություն․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․3

Զարգացնող ուսուցման եղանակները՝ համապատասխան օրինակներով․․․․․․․․․․․․․․4

Եզրակացություն․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Մաթեմատիկան գիտություն է, որի ուսուցումը միտված է դեպի երեխայի գիտելիքների և հմտությունների զարգացում։ Ուսումնառության ընթացքում սովորողների գործունեությունը կարող է լինել ռեպրոդուկտիվ և պրոդուկտիվ։ Առաջինի առկայության դեպքում աշակերտը ստանում է պատրաստի ինֆորմացիա, ընկալում է այն, հասկանում, մտապահում և վերարտադրում (թեորեմ, աքսիոմա, բանաձև), իսկ պրոդուկտիվը կապված է մտածողության ակտիվ աշխատանքի հետ և իր արտահայտությունն է գտնում անալիզի (վերլուծություն) և սինթեզի (համադրում) համեմատության, դասակարգման, անալոգիայի և ընդհանրացման մեջ։ Մաթեմատիկայի դասընթացում այս բոլոր մտավոր գործողությունների եղանակները ակտիվորեն ներառված են։

Մեր աշխատանքի նպատակն է դիտարկել և ներկայացնել տարբեր մտավոր գործողությունների եղանակների ներառման հնարավորությունները մաթեմատիկայի դասընթացում։

Խնդիրներն են՝

․Ցույց տալ, թե հիմնականում ո՞ր եղանակների վրա կարելի է հիմնվել տարրական դասարաններում

․Ինչպիսի՞ առաջադրանքներ կարելի է ներկայացնել, ներառել այս դասընթացում։

Վստահաբար կարող ենք ասել, որ մաթեմատիկան այն դասընթացն է, որի ցանկացած մտավոր գործողության եղանակ երեխային սովորեցնում է մտածել․․․

Մաթեմատիկայում ուրույն տեղ զբաղեցնող մտավոր գործողությունների կարևորագույն ձևերից են անալիզը և սինթեզը։ Առաջինի ժամանակ օբյեկտը ներկայացվում է ըստ իր տարրերի, հատկությունների կամ հայտանիշների առանձնացման, իսկ սինթեզը օբյեկտի տարբեր տարրերի միավորումն է մեկ ամբողջության մեջ։ Սրանք լրացնում են միմյանց, քանի որ անալիզն իրագործվում է սինթեզի, սինթեզը՝ անալիզի միջոցով։

Անալիտիկ և սինթետիկ գործունեության կարողությունների ձևավորմանը նպաստում են՝ ա) օբյեկտի դիտարկումը տարբեր հասկացությունների տեսանկյունից, բ) տրված մաթեմատիկական օբյեկտի նկատմամբ տարբեր առաջադրանքների առաջադրումը։

Օրինակ՝ «18+8=26 արտահայտությունը տարբեր կերպ կարդալ» առաջադրանքը կարելի է ներկայացնել այսպես․

ա) 18-ը մեծացրել, ավելացրել են 8-ով

բ) 18-ի և 8-ի գումարը

գ) 18-ին գումարել են 8

դ)18-ը 8-ով փոքր է 26-ից

ե)26-ը 8-ով մեծ է 18-ից

Կամ՝ տրված են թվեր՝ 4625, 45752, 725228, պետք է բնութագրել՝ ըստ հարցաշարի․

ա) Քանի՞ նիշ ունի

բ) Քանի՞ հազարյակ է պարունակում

գ)Քանի՞ հազարյակ կա հազարյակների կարգում

դ)Ո՞րն է այդ թվի հարյուրավորը

ե)Քանի՞ միավոր է պարունակում

զ)Քանի՞ միավոր կա միավորների կարգում

Կամ՝ բնութագրել 523 թիվը․ ա)եռանիշ թիվ է, որի նիշերն են 5,2,3 թվերը, բ)5հ․,2տ․,3մ․, գ)նախորդում է 324-ին, հաջորդում է 522-ին, դ) կարելի է ներկայացնել տարբեր գումարելիների տեսքով՝ 500+20+3, 500+23, 250+250+23 և այլն, ե) կենտ թիվ է, չի բաժանվում երկուսի։

Կամ՝ կռահել օրինաչափությունը և լրացնել համապատասխան թվերը ․

․․․, 200,․․․, ․․․, 500,․․․,700։

Դիտարկելով թվաշարքը՝ երեխաները պետք է ճիշտ կողմնորոշվեն և լրացնեն բաց թողնված հարյուրյակները՝ ըստ աճման կարգի՝ 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700։

Կամ՝ Հայկը գրել է երեք թիվ և դասավորել ըստ նվազման կարգի։ Վերականգնել ծածկված թիվը․

62, *8, 48

Դիտարկելով երկնիշ թվերի տասնավորները՝ երեխաները կկարողանան 60, 50, 40 տասնյակները դասավորել ըստ նվազման կարգի։

Նմանատիպ առաջադրանքներ կարելի է մտածել նաև տարվա եղանակներին, ամիսներին, օրվա ժամերին վերաբերվող, որոնք հիմնականում նախընտրելի է քննարկել երկրորդ դասարանում։

Տարբեր երկրաչափական պատկերներում կարելի է փնտրել ու գտնել ներգծված մի քանի պատկերներ (տարրական դասարանների մաթեմատիկաներում հատկապես շատ են եռանկյունները, քառանկյունները։

Մաթեմատիկական օբյեկտները դիտարկելով տարբեր հասկացությունների տեսանկյունից կարող ենք կազմել վարիատիվ առաջադրանքներ։

Այսպես՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20։

ա)Թվաշարքում առանձնացնել կենտ և զույգ թվերը։

բ)Թվաշարքը բաժանել երկու խմբի՝ միանիշ թվեր և երկնիշ թվեր․

1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9։

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20։

գ)Առանձնացնել այն թվերը, որոնք ( ըստ աճման կարգի) տարբերվում են 5 միավորով․

5, 10, 15, 20

2, 7, 12, 17

1, 6, 11, 16 և այլն։

դ) Ընտրել 2-ի բաժանվող թվերը (բնականաբար ընտրում ենք զույգ թվերը)։

ե)Շարքից ընտրել այնպիսի թվեր, որոնք կարելի է ներկայացնել կարգային գումարելիների տեսքով (ընտրում ենք երկնիշ թվերը)։

զ) ընտրել այնպիսի թվեր, որոնց գումարը կլինի զույգ թիվ (զույգ թիվ +զույգ թիվ, կենտ թիվ + կենտ թիվ)

է) Թվաշարքի առաջին թվին գումարենք վերջին թիվը՝ 1+20=21, ապա առաջին գումարելին մեծացնենք 1-ով, իսկ երկրորդը՝ փոքրացնենք 1-ով՝ 2+19=21 , 3+18=21 , 4+17=21

Մի քանի արտահայտությունների գումարը հաշվելուց հետո, երեխան հեշտությամբ գլխի է ընկնում, թե ինչ նրբության հանդիպեց։

Համամատման եղանակը երեխայի մոտ կարելի է ձևավորել առաջին դասարանից սկսած, երբ երեխային ծանոթացնում, սովորեցնում ենք առարկաների, երկրաչափական պատկերների տեսքն ու հատկանիշները( չափ, գույն, հատ, ձև)։

Երկու և ավելի պատկերներ համեմատելով՝ երեխաները կարող են գտնել նման և տարբեր հատկանիշներ, պատկերների կողմներ։ Երեխան, որն արդեն տարբերում է շրջանը քառակուսուց, կարող է ասել, որ առաջին երկու պատկերը նման են, որովհետև քառակուսի են, իսկ մյուս երկուսն էլ նման են, որովհետև եռանկյուն են։ Կարելի է նշել նաև գույների և չափերի նմանություններն ու տարբերությունները։

Երեխան կարող է բնութագրել նաև այս առարկաները, ձևակերպել։

Պատկերը քառակուսի է, քանի որ բոլոր կողմերն իրար հավասար են, կամ՝ պատկերը եռանկյուն է, քանի որ ունի երեք անկյուն․․․

Տիրապետելով և հիմնվելով հայտանիշներն առանձնացնելու կարողության վրա, ինչպես նաև դրանք համեմատելու, աշակերտներն հետզհետե պետք է համեմատություն փորձեն կատարել մաթեմատիկական օբյեկտների վրա։

Դիտարկելով 5+6 արտահայտությունը՝ աշակերտները կարող են առանց միջամտության անվանել հայտանիշները՝ 2 և 3 թվերը, նշանը։

Օրինակ՝ Ինչո՞ւմն է նմանությունը և տարբերությունը 6+5 և 6-5 արտահայտությունների։

Երեխան , դիտարկելով արտահայտությունները, առաջին հերթին կնշի, որ առաջինը գումարման արտահայտություն է, իսկ երկրորդը՝ հանման։ Կնշի, որ գումարման դեպքում 6-ը մեծացել է 5-ով, իսկ հանման դեպքում ՝ փոքրացել 5-ով։ Կնշի, որ գումարման դեպքում արդյունքը մեծ է ստացվում, իսկ հանման դեպքում՝ փոքր։

Կամ՝ նշել նմանությունն ու տարբերությունն այս թվային զույգերի ․ 26 և 62, 2 և 22, 52 և 62, 55 և 555 ։

Առաջին հերթին, երբ երեխան կարդա , ա) կնշի, որ, բոլոր թվերը կազմված են հայտնի նիշերից (իհարկե, ոչ երկրորդ դասարանում), բ) կդիտարկի դրանք ըստ նիշային կազմության՝ միանիշ, երկնիշ, եռանիշ, գ) կե՞նտ են, թե՞ զույգ, դ) նման են թվային նիշերով՝ 2 և 22, ե) բաժանվում են միևնույն թվին կամ ՝ 2-ի ։

Աշակերտը, որն արդեն գիտի, որ գումարելիների տեղափոխությունից գումարը չի փոխվում (5+6=6+5) , հեշտությամբ է գլխի ընկնում, որ արտադրիչների տեղափողությունից արտադրյալը նույնպես չի փոխվում (5․6=6․5)։

Խնդիրների մեջ հաճախ կարող են հանդիպել միևնույն թվերը, սակայն արդյունքում կարող ենք ստանալ բոլորովին տարբեր թվեր․ դա պայմանավորված է այն գործողություններով, որոնք մենք կատարում ենք այդ խնդիրները լուծելիս։ Օրինակ՝ Արամը Անիից մի դեպքում կարող է 5կգ-ով ավելի խնձոր գնել, մյուս դեպքում՝ 5 անգամ շատ։ Եթե Անին գնել էր 5 կգ խնձոր, ապա արդյունքում մենք կունենանք համապատասխանաբար՝ 5+5=10կգ և 5․5=25կգ արդյունքներ։ և հայտանիշներով է պայմանավորվում արդյունքների տարբերությունը։ Երեխան պետք է կարողանա տարբերակել -ով ավելի և անգամ ավելի արտահայտությունները։

Շատ հաճախ համեմատությունների հանդիպում ենք տարրական դպրոցում՝ նոր նյութեր, երկրաչափական պատկերներ դիտարկելիս։

Պետք է դիտարկել պատկերները և գտնել նմանությունները։ Աշակերտները, որոնք բազմիցս աշխատել են քառակուսու և ուղղանկյան պատկերներով, և բնութագրել են դրանց՝ նշելով վերը նշվածների նմանությունները՝ չորս կողմ, չորս անկյուն, նույնը կասեն նաև շեղանկյան և զուգահեռագծի վերաբերյալ։

Կրտսեր դպրոցականների ուսուցման դասընթացում որոշակի տեղ են զբաղեցնում այնպիսի վարժություններ, առաջադրանքներ, որոնց ոճական հարցադրումը հաճախ շփոթեցնում է երեխաներին՝ ճիշտ տարբերակի հակվել։ Օրինակ՝ Սեղանին դրված էին 3 մոմ։ Մեկը մարեցին, քանի՞սը մնաց։ Հարցադրումն այնքան շփոթեցնող է, որ երեխան միանգամից կպատասխանի՝ 2 (այսինքն կկատարի առարկայական գործողություն՝ 3-1=2)։

Բայց, երբ ուսուցիչը ուղղորդող հարցեր է հղում՝ ա) այն երկուսը մնացին և վառվեցին,

բ) այն մեկը, որ չվառվեց, ի՞նչ եղավ, երեխաների մեջ հաստատ կգտնվեն այնպիսիները, որ կպատասխանեն՝ մեկը մնաց։

Շատ հաճախ, առանց հրահանգի՝ համեմատիր, գտիր տարբերությունը, գտիր նմանությունը, համեմատման եղանակի առաջադրանքները կատարվում են ինքնուրույնաբար։ Հեռացրու ավելորդ առարկան պահանջը խոսում է այն մասին, որ բոլոր առարկաները նման են, բացի մեկից․

Խոսքը եռանկյան մասին է, որը տարբերվում է մնացած պատկերներից իր գույնով, անկյունների և կողմերի քանակով։

Կամ՝ Տրված երկու շարքերում դասավորված են թվեր, որոնցից առաջինում կատարել են սյունակաձև գումարում․22+ 20+15+31 և ստացել՝ 88․ ինչպե՞ս գտնել մյուս շարքի թվերի գումար ՝ առանց գումարում կատարելու ։ Մյուս շարքն է ՝ 23, 21,16, 32։ Ուշադիր երեխան անմիջապես գլխի կընկնի, թե խնդիրն ինչումն է կայանում․ համեմատելով շարքերը՝ կտեսնի, որ յուրաքանչյուր թվանշան նախորդից մեծ է 1-ով։ Քանի որ չորս թվանշան է, ուրեմն նախորդի արդյունքից 4-ով մեծ թիվ պետք է ստանա՝ 88+4=92։ Արդյունքը ստացանք՝ առանց գումարելիների գումարման։

Համեմատման եղանակի օգնությամբ կարելի է կատարել մի շարք վարժություններ՝ թվային շարքերին վերաբերվող՝ Շարունակել թվաշարը ՝ ա)5, 10, 15, 20, 25, ․․․ բ)10, 20, 30, 40, 50 ,․․․ և այլն։

Համեմատության հիմքի վրա կառուցվում է դասակարգման եղանակը, քանի որ դասակարգում կարելի է կատարել՝ հիմնվելով նմանությունների և տարբերությունների բացահայտման վրա։ Դասակարգման տրամաբանական եղանակին երեխաները սկսում են տիրապետել առաջին իսկ դասարանից՝ հրահանգվելով նմանատիպ հարցերով․

ա) քանի՞սը, բ) ո՞րը, գ) որքա՞նը, դ)որո՞նք, ե)ո՞ր գույնը, զ)ո՞ր չափը և այլն։

Հետզհետե առաջադրանքները բարդացնելով կարելի է ներառել թվեր (միանիշ, երկնիշ, թվանշանների գումար, տարբերություն), թվային արտահայտություններ՝ ըստ արդյունքների նմանության, աճման կամ նվազման կարգի, ինչ-որ թվի բաժանման, գումարման, հանման և այլն։

ա)4+5 բ)5+6 գ)16+16 դ)20-6

3+4 7+4 14+14 16-3

Դասակարգման առաջադրանքների շատ հաճախ հանդիպում ենք նոր նյութի, ինչ-որ հասկացությունների ծանոթացման ժամանակ։

Հրահանգվելով՝ հեռացնել ավելորդ երկրաչափական պատկերը՝ երեխան անմիջապես գլխի կարող է ընկնել, որ խոսքը ձվածիրի մասին է, քանի որ բոլոր պատկերներներն ունեն անկյուններ, իսկ ձվածիրը չունի։ ( Ինչո՞վ են նման՝ քառանկյուններ են, ինչո՞վ են տարբեր՝ չափում են անկյունները, կողմերը)։ Նմանատիպ առաջադրանքներ կարելի է մտածել նաև թվերի հետ կապված․ եթե երեխան գիտի, որ երկնիշ թիվն ունի երկու նիշ, ապա թվաշարքից կարող է առանձնացնել եռանիշ թիվը․56, 33, 55, 20, 545, 34 և այլն։

Դասակարգումը կարելի է կատարել ըստ առարկաների, երկրաչափական մարմինների ձևի, չափի , երկարության, թվերի նիշերի, ինչ-որ թիվ գումարելու, հանելու, բաժանելու, բազմապատկելու, համեմատելու և այդ հայտանիշների վրա հիմնվելով։

Անալոգիայի եղանակը (համընկնում) նույնպես ունի որոշակի միտվածություն գործողությունների, երևույթների, հասկացությունների նմանության։ Նոր նյութը բացատրվում է հիմնվելով նախորդի՝ յուրացրածի վրա։ Երեխաները, առաջադրանքների լուծման մեջ գտնելով որոշակի նմանություններ, փորձում են ինքնուրույն հաղթահարել դժվարությունները։ Սյունակաձև երկնիշ թվեր գումարել իմացող աշակերտը հեշտությամբ կարող է գումարել եռանիշ թվեր՝ ըստ կարգերի դասավորելով թվային նիշերը։ Կամ՝ երեխան, որը տիրապետում է գումարման տեղափոխության հատկությանը, ծանոթանալով արտադրիչներին, ինքնուրույն կգա այն եզրահանգման, որ արտադրիչների տեղափոխությունից նույնպես արդյունքը՝ արտադրյալը , չի փոխվում։

5+6=11 5․6=30 կամ՝ թվի նվազեցման, բաժանումով 9-3=6 12։6=2

6+5=11 6․5=30 փոքրացման ժամանակ 9-6=3 12։2=6

Ըստ անալոգիայի մտահանգում կատարելու ունակությունը պետք է ուշադրության կենտրոնում լինի հետևյալը․

1․ունենալ երկու օբյեկտ՝ հայտնի և անհայտ

2․ համեմատում ըստ օբյեկտների նմանությունների և տարբերությունների

Սյունակաձև բաժանման և բազմապատկման ժամանակ երեխաները շարունակում են իրենց գործողությունները կատարել նիշերի ավելացման դեպքում նույնպես՝ յուրաքանչյուրը ճիշտ գրելով համապատասխան տեղում՝ ըստ կարգային հաջորդականության։

Ոսուցման ընդհանրացման եղանակի կիրառումը կարելի է իրագործել էմպիրիկ տիպով՝ ընդհանրացնելով ինդուկտիվ դատողությունների արդյունքը։ Աշակերտները այս եղանակով մտածելիս ինքնուրույնաբար հանգում են ինչ-որ հատկությունների,կանոնների։

Եթե դիտարկենք աղյուսակը, ապա բավականին հեշտ կարող ենք հաշվել ընդհանուր վանդակները․

Հորիզոնական դիրքում՝ 5 վանդակ

Ուղղահայաց դիրքում՝ 3 վանդակ

5․3=15 կամ՝ 3․5=15 ( արտադրիչների տեղափոխությունից արտադրյալը չի փոխվում)

5+5+5=15 կամ՝ 3+3+3+3+3=15

Դիտարկելով այս օրինակը՝ երեխան գալիս է այն եզրահանգման, որ եթե արտադրիչները տեղափոխենք, արտադրյալը չի փոխվի։

Ինդուկտիվ մտահանգման օրինակներ են՝

5․6=30 4․5=20 8․6=48

30։5=6 20։5=4 48։8=6

Եթե երկու թվերի արտադրյալը բաժանենք արտադրիչներից մեկի վրա՝ կստանանք մյուսը։

Կամ անհայտ արտադրիչը գտնելու համար արտադրյալը բաժանում ենք հայտնի արտադրյալին։

* ․ 5 = 25

* = 25 ։ 5

Կամ՝ անհայտ բաժանելին գտնելու համար քանորդը բազմապատկում ենք բաժանարարով․ *։6=4 *= 4 ․ 6

Ի՞նչ թիվ կստանանք, եթե զույգ թվին գումարենք կենտ թիվ՝ իհարկե կենտ թիվ․

6+5 ,3+10, 30+5, 65+4 և այլն։

Դիտարկելով թվային սանդղակը կարող ենք ասել, որ հարևան երկու թվերի գումարը կենտ է, քանի որ մեկը մյուսից 1-ով է տարբերվում, իսկ 1-ը կենտ է ։

Երկու միմյանց հաջորդող թվերի արտադրյալը կարող է բաժանվել 2-ի, քանի որ այդ թվերից մեկը պարտադիր զույգ է։ Բնական թվերի թվաշարքում կենտ և զույգ թվերը միմյանց հաջորդում են շարունակաբար։

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

5․6։2=15 4․5։2=10 2․3։2=3

Եթե հարևան թվերից մեծից հանենք փոքրը , ապա կստանանք 1, քանի որ այդ թվերը տարբերվում են 1-ով։

55-54=1 56-55=1 85-84=1

Եթե յուրաքանչյուր թվին գումարենք ինչ-որ թիվ, ապա հանենք այդ նույն թիվը , կստանանք այն նույն թիվը, որին գումարել էինք ։

1)55+5=60 1)656+44=700

2)60-5=55 2)700-44=656

15․26 = 390 Հաշվելով արտահայտությունների արժեքները, երեխան կգա այն եզրակացության,

14․26 = 364 որ ստացված յուրքանչյուր արժեք փոքր է նախորդից 26-ով։

13․26 = 338

Կամ՝ համեմատել արտահայտությունները․

4․6*6․4 (արադրիչների տեղափողությունից արտադրյալը չի փոխվում)

4+6*6․4 (արտադրյալը մեծ է գումարից)

4+6*4+7 (գումարը մեծանում է , եթե մեծանում է գումարելիներից մեկը)

4-2*4-3 (տարբերությունը մեծ է, եթե փոքր է հանելին)

Նմանատիպ եզրահանգումներ կարելի է անել բոլոր թվաբանական գործողությունների արդյունքում․

6։2*6։3

5․6*5․7

Լրացնելով աղյուսակը երեխաներն ինքնուրույն կարող են գալ այն եզրակացության, որ որքանով մեծացնում ենք գումարելիներից մեկը, նույնքանով մեծանում է նաև գումարը։ Նմանատիպ աղյուսակներ կարելի է ներկայացնել տարբեր թվաբանական գործողությունների վերաբերյալ։

Եզրակացություն

Մաթեմատիկական դատողությունները բազմազան են և ունեն ճշմարտացիության հիմնավորման մի շարք եղանակներ, որոնք բոլորն էլ կիրառելի են մաթեմատիկայի դասընթացում և մարզում են երեխայի միտքը՝ ուղորդելով նրան դեպի տրամաբանական խնդիրների և առաջադրանքների լուծում, մեկնաբանում․․․ Կարևոր խնդիր է երեխաներին սովորեցնել տրամաբանորեն դատելու ունակություն, կատարել ինքնուրույն տրամաբանական քայլեր, դիտարկել տարբեր մաթեմտիկական դեպքեր և իրավիճակներ։

Հստակեցվելով և պարզեցնելով մաթեմատիկայի ուսուցման ավանդական և ժամանակակից մեթոդները, մեթոդական հնարները՝ փորձ է արվում դրանց կիրառությունը արդյունավետ դարձնել սովորողների տրամաբանական մտածողության զարգացման առումով։

Այսպիսով, մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում տրամաբանական մտածողության զարգացմանը միտված առաջադրանքների և ժամանակակից մեթոդների արդյունավետ կիրառման շնորհիվ աշակերտների համար առարկան դառնում է հետաքրքիր և զարգացնող։

Օգտագործված գրականության ցանկ

1․ Ս․ Մկրտչյան և ուրիշներ, Մաթեմատիկա 1, , Երևան, 2019թ․

2․ Ս․ Մկրտչյան և ուրիշներ, Մաթեմատիկա 2,, Երևան, 2019թ․

3․ Ս․ Մկրտչյան և ուրիշներ, Մաթեմատիկա 3, ,Երևան, 2014թ․

4․ Ս․ Մկրտչյան և ուրիշներ, Մաթեմատիկա 4, ,Երևան, 2015թ․

5․Истомина Н. Б., Методика обучения математики в начальных классах, Браянск, 1999г.